По словам его биографа, Сарториуса фон Вальтерсгаузена, Гаусс имел привычку объяснять эту идею с точки зрения муравья, движения которого ограничены данной поверхностью. Если вы муравей, то за пределами этой поверхности ничего нет. Тем не менее, вооружившись рулеткой (на самом деле Гаусс не пользовался этим инструментом, но давайте не будем прибегать к излишнему педантизму) и побродив по поверхности, муравей мог бы прийти к выводу о том, что она искривлена. Не огибает что-либо, а искривлена сама по себе.
Из школьных уроков по евклидовой геометрии мы знаем, что сумма углов в любом треугольнике составляет 180°. Эта теорема верна для плоскости, но не выполняется в случае искривленной поверхности. Скажем, на поверхности сферы можно изобразить такой треугольник: в качестве начальной точки выбрать северный полюс, затем переместиться на юг к экватору, пройти вдоль него четверть диаметра, и снова вернуться на северный полюс. Стороны треугольника это большие круги сферы, которые соответствуют кратчайшим путям на поверхности, соединяющим две заданные точки, и тем самым служат естественной аналогией прямых линий. Все три угла в таком треугольнике являются прямыми: 90°. А значит, их сумма равна 270°, а не 180°. Это вполне логично: сфера все-таки отличается от плоскости. Но этот пример наводит на мысль, что, измеряя треугольники, мы, вероятно, могли бы выяснить, что находимся не на плоскости. Именно в этом и состоит замечательная теорема Гаусса. Метрика Вселенной особое свойство расстояний, которое можно определить путем анализа формы и размеров небольших треугольников может сообщить нам точную кривизну Вселенной. Нужно просто подставить результаты измерений в формулу.
Это открытие произвело на Гаусса невероятное впечатление. Его ассистент Бернхард Риман обобщил формулу на случай пространств с произвольным числом измерений, заложив основу новой математической дисциплины, известной как дифференциальная геометрия. Однако вычисление кривизны в каждой точке пространства требует огромных усилий, и математики стали задаваться вопросом, нельзя ли получить менее подробную информацию каким-нибудь более простым способом. Они попытались ввести более простое в обращении понятие «формы».
То, что они придумали, теперь называется топологией и составляет основу качественного описания формы, не требующего количественных измерений. В этом разделе математики две фигуры считаются одинаковыми, если одну из них можно превратить в другую с помощью непрерывной деформации. Пончик, к примеру (тот, что с дыркой), не отличается от кофейной чашки. Представьте, что чашка состоит из гибкого материала, который легко сгибается, сжимается или растягивается. Для начала можно выровнять углубление чашки, превратив ее в диск; при этом ручка по-прежнему соединяется с его краем. Затем можно сжать диск, чтобы его толщина совпала с толщиной ручки, и получилось кольцо. Остается лишь немного его надуть, и у вас получится пончик. На самом же деле с точки зрения тополога обе фигуры представляют собой деформированный комок, к которому присоединена одна ручка.
Топологическая ипостась «формы» задается вопросом, похожа ли наша Вселенная на сферический комок вроде английского пончика, на тор вроде американского, или на что-то более сложное.
Оказывается, что муравей, знакомый с топологией, может узнать очень многое о форме своего мира, если будет толкать туда-сюда связанную в кольцо нить и наблюдать за тем, как она себя ведет. Если в пространстве есть дырка, муравей сможет продеть сквозь нее петлю, а так как он все время остается на поверхности, то вытащить петлю, не разорвав ее, он не сможет. При наличии нескольких дырок муравей сможет продеть петлю в каждую из них это поможет ему узнать количество дыр и их взаимное расположение. В пространстве без дыр любую петлю, которая никогда не выйдет за пределы поверхности, можно расталкивать сколько угодно, пока она вся не соберется в одном месте.
Требуется некоторое усилие, чтобы привыкнуть к муравьиному мышлению, которое ограничивается внутренними свойствами пространства, однако без него современная космология попросту лишена смысла, так как гравитация, будучи переосмысленной в рамках общей теории относительности Эйнштейна, превратилась в кривизну пространства-времени, основанную на римановом обобщении замечательной теоремы Гаусса.
До этого момента мы понимали слово «кривизна» в достаточно широком смысле: как именно искривляется пространство. Теперь же нам придется быть более осмотрительными, так как с точки зрения муравья кривизна представляет собой более тонкое понятие, смысл которого немного отличается от того, что мы, вероятно, ожидаем. В частности, муравей, живущий на поверхности цилиндра, будет настаивать на том, что его Вселенная не искривлена. Возможно, с точки зрения внешнего наблюдателя цилиндр выглядит как свернутый лист бумаги, однако геометрия маленьких треугольников на поверхности цилиндра в точности совпадает с аналогичной геометрией на евклидовой плоскости. Доказательство: просто разверните бумагу. Длины и углы, измеренные внутри бумаги, остаются без изменений. Таким образом, муравей, живущий на поверхности цилиндра, будет считать его плоским.
Математики и космологи согласны с мнением муравья. Тем не менее, цилиндр в некотором отношении отличается от плоскости. Если муравей начинает движение в какой-нибудь точке цилиндра и движется, строго придерживаясь направления, которое кажется ему прямой линией, то спустя какое-то время он вернется в исходную точку. Его траектория опоясывает цилиндр и возвращается в начало пути. С прямыми на плоскости такого не бывает. Это топологическое различие, и гауссова кривизна не в состоянии его уловить.
Мы упомянули цилиндр не только потому, что он хорошо известен, но и из-за его двоюродного брата, который играет важную роль и называется плоским тором если что-то и можно назвать оксюмороном, то именно его, потому что тор выглядит как пончик с дыркой, а его кривизна очень приятна на вкус. Тем не менее, его название не лишено смысла. С точки зрения метрики пространство является плоским, не имеет кривизны; однако топологически оно представляет собой тор. Чтобы получить плоский тор, нужно мысленно склеить противоположные стороны квадрата, а квадрат имеет плоскую форму. Это построение аналогично склеиванию противоположных краев экрана в компьютерных играх стоит какому-нибудь монстру или кораблю инопланетян свалиться с одного края, как он тут же снова появляется в той же самой позиции на противоположной стороне. В программировании игр этот метод называется «свертыванием»[78] так это воспринимается на практике, хотя вы и не станете делать этого в прямом смысле, если, конечно, не хотите устроить бардак из разбитых экранов. С точки зрения топологии свертывание вертикальных краев превращает экран в цилиндр. Сворачивая горизонтальные края, мы соединяем два конца цилиндра и получаем тор. Теперь никаких краев нет, и пришельца не смогут сбежать.
Плоский тор это простейший пример более общего метода, применяемого топологами для создания сложных пространств из более простых. Возьмите одну или несколько простых фигур и склейте их, перечислив необходимые правила: куда присоединяется каждая часть. Это напоминает сборно-разборную мебель: целая куча деталей и перечень инструкций типа «вставьте полку A в гнездо B». Однако с точки зрения математики детали и список это все, что вам нужно: нет необходимости собирать мебель на практике. Вместо этого вы просто представляете себе, как бы она себя повела, если бы вы ее собрали.
До изобретения космических полетов мы находились в том же положении, что и муравей, когда дело касалось формы Земли. В отношении формы Вселенной мы находимся в этом положении до сих пор. Но, как и муравей, мы можем вычислить эту форму, сделав нужные наблюдения. Одних лишь наблюдений, тем не менее, недостаточно; нам нужно объяснить их в контексте непротиворечивой теории, касающейся общей природы нашего мира. Если муравей не знает, что он находится на поверхности, формула Гаусса ему мало чем поможет.
В настоящий момент роль такого контекста играет общая теория относительности, объясняющая гравитацию с позиции кривизны пространства-времени. В плоской области пространства-времени частицы движутся по прямой так же, как они бы двигались в ньютоновской физике при отсутствии внешних сил. Если же пространство-время искривлено, частицы движутся вдоль криволинейных траекторий, которые в ньютоновской физике были бы признаком действующий силы такой, как гравитация. Эйнштейн отказался от сил, но оставил искривление. В общей теории относительности массивное тело вроде звезды или планеты искривляет пространство-время; под влиянием этого ускорения а вовсе не из-за воздействия какой-либо внешней силы частицы отклоняются от прямолинейной траектории. Если вы хотите понять гравитацию, говорил Эйнштейн, вам нужно разобраться в геометрии Вселенной.
