Когда теория относительности еще только начинала свой путь, специалисты в области космологии открыли подходящую форму Вселенной, которая отвечала требованиям релятивизма гиперсферу. Топологически она похожа на обычную сферу в том смысле, что является лишь поверхностью. У сферы есть два измерения чтобы указать на ней конкретную точку, достаточно двух чисел. Скажем, широты и долготы. У гиперсферы таких измерений три. Математики определяют гиперсферы с помощью геометрии координат. К сожалению, такая фигура не входит в число естественных обитателей привычного нам пространства, поэтому мы не можем сделать ее модель или нарисовать ее на картинке.
Это не просто сплошной шар, то есть сфера вместе со своей внутренностью. У сферы нет границ, а значит, их не должно быть и у гиперсферы. У Плоского Мира, к примеру, граница есть там заканчивается мир, а океаны переливаются через край. Но наш сферический мир устроен иначе у него нет края. Где бы вы ни стояли оглянитесь вокруг и увидите землю или океан. Муравей, путешествующий по своему сферическому миру, никогда не обнаружит то место, где заканчивается Вселенная. То же самое должно быть верно и в отношении гиперсферы. Однако у сплошного шара есть граница его поверхность. Муравей, способный по своему желанию перемещаться внутри шара так же, как мы перемещаемся в космическом пространстве, если на пути не попадается какое-нибудь препятствие столкнется с краем Вселенной, достигнув поверхности на противоположной стороне.
В данном случае нам достаточно знать о гиперсфере лишь то, что она является естественным аналогом сферы, но с одним дополнительным измерением. Чтобы представить более конкретный образ, можно подумать о том, как могла бы выглядеть сфера в воображении муравья, а затем добавить еще одно измерение именно так поступил во Флатландии А. Квадрат. Сфера состоит из двух полусфер, склеенных друг с другом вдоль экватора. Полусферу модно сплющить, превратив в плоский диск, то есть окружность + ее внутренность такая деформация будет непрерывной. Иначе говоря, тополог может представить сферу в виде двух дисков, склеенных по краю наподобие летающей тарелки. В случае трех измерений аналогом диска будет шар. Гиперсферу, таким образом, можно получить путем склеивания двух шаров. Проделать это с круглыми шарами в трехмерном пространстве вы не сможете, зато можно составить математическое правило, которое сопоставит каждой точке на поверхности одного шара соответствующую точку на поверхности другого. Затем мы сделаем вид, что эти точки совпадают почти так же, как мы «склеиваем» края квадрата, чтобы получить плоский тор.
Гиперсфера сыграла важную роль в ранней работе Анри Пуанкаре, одного из основоположников современной топологии. Он трудился приблизительно в конце XIX века и был одним из двух или трех ведущих математиков тех лет. Он едва не опередил Эйнштейна с созданием специальной теории относительности[79]. В начале 1900-х Пуанкаре разработал многие из стандартных инструментов топологии. Он знал, что гиперсферы играют фундаментальную роль в трехмерной топологии, так же, как сферы в двумерной. В частности, у гиперсферы нет дыр, похожих на дыры в бублике, поэтому в определенном смысле она представляет собой простейшее топологическое пространство с тремя измерениями. Пуанкаре предположил без доказательства, что верно и обратное: любое трехмерное топологическое пространство без дыр обязательно окажется гиперсферой.
Однако в 1904 году он обнаружил более сложный объект, додекаэдрическое пространство, которое, несмотря на то, что в нем не было дыр, гиперсферой не являлось. Существование этой конкретной формы свело на нет первоначальное предположение. Эта неожиданная осечка заставила его добавить еще одно условие, которое, как он надеялся, сможет охарактеризовать гиперсферу в полной мере. Двумерная поверхность является сферой тогда и только тогда, когда любую петлю можно расталкивать в стороны вплоть до того момента, когда она целиком не окажется в одном месте. Пуанкаре предположил, что точно такое же свойство характеризует гиперсферу в трех измерениях. Он оказался прав, однако на доказательство этого факта у математиков ушло почти целое столетие. В 2003 году молодой житель России, Григорий Перельман, успешно доказал гипотезу Пуанкаре. За это математик был удостоен приза в миллион долларов, от которого он, как известно, отказался.
Хотя гиперсферическая Вселенная это самый простой и очевидный вариант, она не находит широкого подтверждения с позиции экспериментальных данных. Когда-то самой простой и очевидной формой Земли была плоскость, и только посмотрите, к чему это привело. Так что космологи отказались от неявного допущения о гиперсферической форме Вселенной и стали обдумывать другие варианты. Одна из наиболее известных гипотез в течение недолгого времени привлекала внимание новостных СМИ утверждением о том, что Вселенная имеет форму футбольного мяча. (на заметку американским читателям: это мяч для игры в соккер) Идея полюбилась редакторам, потому что читатели, может быть, и не разбирались в космологии, зато наверняка знали, как выглядит футбольный мяч[80].
Заметьте, это не сфера. Футбольный мяч в тот момент и лишь на короткий срок сменил старую форму, состоявшую из восемнадцати прямоугольных лоскутов, сшитых в некое подобие куба, на более эффектный вид двенадцать пятиугольников и двенадцать шестиугольников, сшитых или склеенных друг с другом в форме усеченного икосаэдра[81]. Это геометрическое тело известно со времен Древней Греции, и нам повезло, что, несмотря на такое название, мы можем говорить о нем, как о футбольном мяче. За одним исключением в общем, на самом деле речь идет вовсе не об усеченном икосаэдре. Это трехмерная гиперповерхность, и к усеченному икосаэдру она имеет лишь отдаленное отношение. Это футбольный мяч из другого измерения.
Точнее, это додекаэдрическое пространство Пуанкаре.
Чтобы получить такое пространство, вначале нужно взять додекаэдр. Это геометрическое тело с двенадцатью гранями в виде правильного пятиугольника; он похож на футбольный мяч без шестиугольников. Затем противоположные грани склеиваются друг с другом с настоящим додекаэдром так не получится. Но с точки зрения математики можно сделать вид, будто различные грани на самом деле совпадают, не сгибая при этом саму фигуру, чтобы соединить их друг с другом, как мы видели на примере плоского тора; топологи, тем не менее, настаивают на термине «склейка».
Додекаэдрическое пространство это более хитроумная вариация плоского тора. Напомним, что плоский тор это результат склейки противоположных сторон квадрата. Для построения додекаэдрического пространства, которое не является поверхностью, а представляет собой трехмерный объект, нужно взять додекаэдр и склеить противоположные грани. В результате получится трехмерное топологическое пространство. У него, как и у тора, нет границы, и причина та же самая: то, что рискует провалиться сквозь одну из граней, сразу же оказывается внутри противоположной, а значит, выбраться наружу нельзя. Его размер конечен. В нем, как и в гиперсфере, нет дыр, так что будь вы слегка наивным топологом, могли бы поддаться соблазну и решить, будто это пространство соответствует все критериям гиперсферы и тем не менее, оно отличается от гиперсферы, даже с точки зрения топологии.
Пуанкаре придумал додекаэдрическое пространство как пример из области чистой математики, продемонстрировав ограниченные возможности топологических методов, которые были доступны на тот момент и которые он собирался исправить. Однако в 2003 году додекаэдрическое пространство на короткое время приобрело скандальную известность и потенциальное применение в области космологии, когда спутник WMAP (зонд микроволновой анизотропии им. Уилкинсона), запущенный NASA, проводил измерения флуктуаций реликтового излучения несмолкающего шума, который воспринимается радиотелескопами и считается отголоском Большого Взрыва. Статистика этих едва заметных отклонений дает информацию о том, как в ранней Вселенной была распределена материя, сыгравшая роль семени, из которого сформировались звезды и галактики. WMAP способен рассмотреть достаточно далекое пространство, что по сути дает ему возможность заглянуть в прошлое на момент примерно 380 000 лет после Большого Взрыва.
Тогда большинство специалистов в области космологии считали, что Вселенная бесконечна. (Хотя это и противоречит стандартному описанию Большого Взрыва, существуют способы примирить две точки зрения, а в образе «бесконечной матрешки Вселенных» есть какое-то неотъемлемое очарование, на которое мы уже обращали внимание, говоря о «Вселенных, уходящих в прошлое без конца и края» хотя по иронии судьбы теория Большого Взрыва как раз-таки говорит об обратном). Однако данные WMAP указывали на то, что Вселенная имеет конечный размер. Бесконечная Вселенная должна допускать флуктуации любого размера, но полученные данные не содержали каких-либо волн большой длины. Как было сказано в одном из отчетов журнала Nature за тот период, «в ванне бурунов не бывает». Новые подсказки насчет вероятной формы нашей вселенской ванны, лишенной бурунов, появились, благодаря более подробным данным. Рассчитав статистическое распределение флуктуаций для ряда потенциально возможных форм, математик Джеффри Уикс заметил, что додекаэдрическое пространство прекрасно описывает наблюдаемые данные и не требуют никаких специальных оговорок. Согласно анализу, опубликованному исследовательской группой Жана-Пьера Люмине, если бы этот вывод был верным, то диаметр Вселенной должен был составлять около 30 миллиардов световых лет[82]. С тех пор эта теория вышла из моды, благодаря новым результатам наблюдений, хотя идея была забавной пока пользовалась популярностью.
