Удобно обозначить
Тогда
и
Разлагая в биномиальный ряд [1 — (zd/r2)]-1/2 и отбрасывая члены с высшими степенями d, мы получаем
Подобно этому,
Вычитая эти два члена, имеем для потенциала
(6.9)
Потенциал, а значит, и поле, являющееся его производной, пропорциональны qd — произведению заряда на расстояния между зарядами.
Фиг. 6.3. Векторные обозначения, для диполя.
Это произведение называется диполъным моментом пары зарядов, и мы обозначим его символом р (не путайте с импульсом!):
(6.10)
Уравнение (6.9) можно также записать в виде
(6.11)
так как z/r=cosq, где q — угол между осью диполя и радиус-вектором к точке (х, у, z) (см. фиг. 6.1). Потенциал диполя убывает как 1/r2 при фиксированном направлении (а у точечного заряда он убывает как 1/r). Электрическое поле Е диполя поэтому убывает как 1/r3.
Мы можем записать нашу формулу и в векторном виде, если определим р., как вектор, абсолютная величина которого равна р, а направление выбрано вдоль оси диполя от q-к q+. Тогда
(6.12)
где еr— единичный радиальный вектор (фиг. 6.3). Кроме того, точку (x, y, z) можно обозначить буквой r. Итак, Дипольный потенциал:
(6.13)
Эта формула справедлива для диполя произвольной ориентации и положения, если r — вектор, направленный от диполя к интересующей нас точке.
Если нас интересует электрическое поле диполя, то нужно взять градиент j. Например, z-компонента поля есть -dj/dz. Для диполя, ориентированного вдоль оси z, мы можем использовать (6.9):
Фиг. 6.4. Электрическое поле диполя.
или
(6.14)
А х- и y-компоненты равны
Из этих двух компонент можно составить компоненту, перпендикулярную к оси z, которая называется поперечной компонентой E^:
или
(6.15)
Поперечная компонента Е^лежит в плоскости ху и направлена прямо от оси диполя. Полное поле, конечно, равно
Поле диполя меняется обратно пропорционально кубу расстояния от диполя. На оси при 6 =0 оно вдвое сильнее, чем при 9 =90°. При обоих этих углах электрическое поле обладает только z-компонентой. Знаки ее при 2=0 и при z=90° противоположны (фиг. 6.4).
§ 3. Замечания о векторных уравнениях
Здесь, пожалуй, уместно сделать общее замечание, касающееся векторного анализа. Хотя его теоремы и доказаны в общем виде, однако, приступая к расчетам и анализу какой-либо задачи, следует с толком выбирать направление осей координат. Вспомните, что когда мы вычисляли потенциал диполя, то ось выбиралась не как попало, а мы направили ее по оси диполя.
Это намного облегчило нашу задачу. Потом уже уравнения были переписаны в векторной форме и сразу перестали зависеть от выбора системы координат. Теперь стало возможным выбирать какую угодно систему координат, зная, что формула отныне всегда будет справедлива. Вообще нет смысла вводить произвольную систему координат, где оси направлены под каким-то сложным углом, если можно в данной задаче выбрать систему получше, а уже в самом конце выразить результат в виде векторного уравнения. Так что старайтесь использовать то преимущество векторных уравнений, что они не зависят ни от какой системы координат.
С другой стороны, если вы хотите подсчитать дивергенцию какого-то вектора, то вместо того, чтобы смотреть на у·Е и вспоминать, что это такое, лучше расписать это в виде
Если вы затем вычислите по отдельности х-, у- и z-компоненты электрического поля и продифференцируете, то получите искомую дивергенцию. Часто при этом испытывают такое чувство, как будто произошло что-то некрасивое — словно, расписав вектор покомпонентно, потерпели неудачу; все время кажется, будто все действия надо проделывать только с векторными операторами С. Но часто от них нет никакого проку. Когда вы впервые сталкиваетесь с какой-то новой задачей, то, как правило, полезно расписать все в компонентах, чтобы удостовериться, что вы правильно представляете себе, что происходит. Нет ничего некрасивого в том, что в уравнения подставляются числа, и нет ничего неприличного в том, чтобы подставлять производные на место причудливых символов. Наоборот, в этом-то и проявляется ваша мудрость. Конечно, в специальном журнале статья будет выглядеть гораздо приятнее (да и понятнее), если все записано в векторном виде. Но там надо экономить еще и место.
§ 4. Диполъный потенциал как градиент
Мы хотели бы теперь отметить любопытное свойство формулы диполя (6.13). Потенциал можно записать также в виде
(6.16)
Действительно, вычислив градиент 1/r, вы получите
и (6.16) совпадет с (6.13).
Фиг. 6.5. Потенциал в точке Р от точечного заряда, поднятого на Dz над началом координат, равен потенциалу в точке Р' (на Dz ниже Р) того же заряда, но помещенного вначале координат.
Как мы догадались об этом? Мы просто вспомнили, что er/r2 уже появлялось в формуле для поля точечного заряда и что поле — это градиент потенциала, изменяющегося как 1/r.
Существует и физическая причина того, что дипольный потенциал может быть записан в форме (6.16). Пусть в начало координат помещен точечный заряд q. Потенциал в точке Р(х, у, z) равен
(Множитель 1/4pe0 опустим, а в конце мы его можем снова вставить.) Если заряд +q мы сдвинем на расстояние Dz, то потенциал в точке Р чуть изменится, скажем на Dj+. На сколько же именно? Как раз на столько, на сколько изменился бы потенциал, если б заряд оставили в покое, а Р сместили на столько же вниз (фиг. 6.5). Иначе говоря,
где Dz означает то же, что и d/2. Беря j0=q/r, мы получаем для потенциала положительного заряда
(6.17)
Повторяя те же рассуждения с потенциалом отрицательного заряда, можно написать
(6.18)
А общий потенциал—просто сумма (6.17) и (6.18):
(6.19)
При других расположениях диполя смещение положительного заряда можно изобразить вектором Dг+, а уравнение (6.17) представить в виде
где Dr впоследствии надо будет заменить на d/2. Завершая доказательство так, как это было сделано выше, мы приведем уравнение (6.19) к виду
Это то же уравнение, что и (6.16). Надо только заменить qd на р и вставить потерянный по дороге множитель 1/4pe0. Взглянув на это уравнение по-иному, видим, что дипольный потенциал (6.13) можно толковать как
(6.20)
где Ф0=1/4pe0r — потенциал единичного точечного заряда.
Хотя потенциал данного распределения зарядов всегда может быть найден при помощи интегрирования, иногда можно сберечь время, применив какой-нибудь хитроумный прием. Например, на помощь часто приходит принцип наложения. Если нам дано распределение зарядов, которое можно составить из двух распределений с уже известными потенциалами, то искомый потенциал легко получить, просто сложив уже известные между собой. Наш вывод формулы (6.20) — один из примеров применения этого приема.
А вот и другой. Пусть имеется сферическая поверхность, на которой поверхностный заряд распределен пропорционально косинусу полярного угла. Интегрировать такое распределение— задача, откровенно говоря, не из приятных. Но как ни странно, на помощь приходит принцип наложения. Представьте себе шар с однородной объемной плотностью положительных зарядов и другой шар с такой же однородной объемной плотностью зарядов, но противоположного знака. Первоначально они вложены друг в друга, образуя нейтральный, т. е. незаряженный шар. Если затем положительный шар чуть сместить по отношению к отрицательному, то нутро незаряженного шара так и останется незаряженным, но на одной стороне возникнет небольшой положительный заряд, а на противоположной — такой же отрицательный (фиг. 6.6). И если относительное смещение двух шаров мало, то эти заряды эквивалентны существованию поверхностного заряда (на сферической поверхности) с плотностью, пропорциональной косинусу полярного угла.
