Из всех имеющихся на сегодня идей лишь идея струны кажется способной в конце концов привести к построению к объединенной, общей теории всех взаимодействий, естественно включающей в себя и гравитационное взаимодействие. За последние четыре года усилиями многих теоретиков удалось существенно продвинуться в этом направлении. Из многих полученных ими замечательных результатов, выделим лишь один, имеющий прямое отношение к теме этой книги. В современной теории струн реализовалась мечта лорда Кельвина о чисто топологическом истолковании зарядов элементарных частиц (для него — «атомов»). Если лишние измерения замкнуты, то струна может несколько раз обвиваться «вокруг них» (подобно нитке на катушке). Оказывается, что разные способы такого «обвивания» соответствуют различным внутренним квантовым числам частиц. С этой точки зрения частицы (кварки, лептоны и т. д.) — это просто разные состояния замкнутой струны, как это и представлял себе лорд Кельвин. На этом мы, пожалуй, и остановимся. Теория струн вещь не законченная, на мой взгляд, работа над ней только начинается. Впереди много проблем, наберемся терпения и подождем лет десять-пятнадцать.
Попробуем схематически изобразить современное представление о структуре мира. На рис. 7.20 схематически указано, как, параллельно с объединением взаимодействий, происходило изменение представлений о фундаментальных частицах, составляющих вещество (от «корпускул» до кварков и лептонов).
Дуализм «частица-взаимодействие» — один из лейтмотивов физики, и в разные периоды на первый план выдвигалось либо одно либо другое понятие. Например, для Декарта и Максвелла главным в картине мира было взаимодействие, а для Ньютона и Лоренца — частицы. Впрочем, эти глубокие мыслители были весьма осторожны и сами не проводили резкой грани между частицами и взаимодействиями. Существовало также и стремление к единой теории частиц и взаимодействий (от Руджера Бошковича до Эйнштейна). По мере того как открывались переносчики взаимодействий, грань между частицами и взаимодействиями становилась все более зыбкой. Сейчас, после того как суперсимметрия объединяет в единые мультиплеты фермионы (традиционные частицы) и бозоны (традиционные агенты взаимодействий), мы более подготовлены к мысли, что по-настоящему фундаментальная теория устройства Вселенной должна быть единой теорией всех взаимодействий и всех частиц, из которых построено вещество. По-видимому, понятия частиц и взаимодействий как отдельных структурных элементов реальности потеряют смысл и должны быть заменены новыми структурными единицами, порождающими знакомые нам частицы и взаимодействия лишь в некотором приближении. Возможно, что такой структурной единицей окажется струна, а живущие на ней солитоны порождают многообразие известных и пока неизвестных нам частиц, из которых в конечном счете составлено невероятное многообразие удивительного мира, в котором мы живем.
* * *
На этом кончается наше путешествие. В таких случаях обычно принято писать заключение, делать выводы, подводить итоги. В книге о солитоне делать это, по-моему, рано. Солитон еще слишком молод и открыл нам лишь малую часть своих дарований. Да и может ли быть какой-нибудь конец у истории о бесконечно разнообразном детище бесконечной и изменчивой Природы... Продолжение?.. Да, продолжение истории обязательно будет! Только для этого понадобится работа молодого читателя этой книги, будущего создателя дерзких новых идей.
1. Получим решение уравнения (4.7) геометрически, придав показательной функции е-ω0t, которую записывают также в виде exp(ω0t), геометрический смысл, аналогичный геометрическому смыслу тригонометрических функций.
Построим на плоскости (х, у) график гиперболы у = 1/х и обозначим буквой S площадь криволинейного треугольника ОО'А (рис. П1).
Тогда проекция точки А на ось Ох и есть x(S) = ехр(S). Это определение можно пояснить по-другому. Площадь ОО'А равна площади О'Ах(S)1, так как эти фигуры получаются вычитанием равновеликих треyгольников OAx(S) И OO'1 из одной и той же фигуры OO'Ax(S). Площадь O'Ax(S)1 по обычному определению есть натуральный логарифм: S = logex(S) = ln x(S), а x(S) = exp(S) — это просто обратная функция. Ясно теперь, что число е определяется условием е = x(1).
Если точка А движется по гиперболе так, что площадь S равномерно растет со временем, т. е. S = ω0t, то x(S) = exp(ω0t), а y(S) = 1/x(S) = exp(-ω0t). С помощью этого построения легко найти производную показательной функции. Площадь ΔS бесконечно малого прямоугольника x(S)AA'x(S + ΔS) равна [x(S + ΔS) - x(S)]y(S) = ΔS, откуда следует, что
[x(S + ΔS) - x(S)]1/ΔS = 1/y(S) = x(S),
т. е. Δ(eS)/ΔS = еS. Когда S = ω0t, то отсюда следует, что
Δ(eS)/Δt = Δx/Δt = ω0eω0t,
т. е. х' = ω0х. Точно так же у' = -ω0у, и мы показали, что у = ехр (-ω0t) — решение уравнения (4.7). Самое общее решение можно получить, если взять S = ω0(t + t0), т. е. просто сдвинуть начало отсчета времени.
Аналогия с геометрическим определением тригонометрических функций cos(ω0t) и sin(ω0t) теперь должна быть ясной. Они определялись как проекции на координатные оси точки, движущейся по окружности единичного радиуса. Поэтому площадь сектора, «заметаемого» радиусом, также равномерно нарастала со временем: S = ω0t.
Еще ближе аналогия тригонометрических функций с гиперболическими функциями. Построим на таком же рисунке, как и рис. П1 взаимно перпендикулярные оси ОУ и ОХ (рис. П2).
Поделенные на проекции X(S) и Y(S) точки А на эти оси называются гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом аргумента S и обозначаются следующим образом:
Эти функции похожи на sin S и cos S. Ясно, что их легко выразить через ехр (S) и ехр (-S), но полезно знать и геометрическое определение, исходя из которого можно найти все основные свойства показательной и гиперболических функций.
Самое главное свойство показательной функции, которое можно было бы взять за определение, выражается очень просто: eS1+S2 = eS1 • eS2. Доказывается оно геометрическим рассуждением, провести которое мы предлагаем читателю. Покажите также, что sh S = 1/2 (eS - e-S), ch S = 1/2 (eS + e-S).
2. Найдем теперь геометрическим построением решение уравнения (4.6). Обозначим = ψ (рис. ПЗ).
Отсюда очевидно, что ψ = (π - φ)/4 и tg ψ = exp(-S)/exp(S) = exp(-2S). Приращение площади ΔS при малом смещении точки А по гиперболе можно записать как площадь малого сектора с радиусом (ОА) (ОА') и углом -Δψ = , т. е. ΔS = -½Δψ·(ОА)2. Так как (ОА) = ехр(S)/cos ψ, то отсюда следует, что
Возвращаясь к углу φ, находим, что
Чтобы получить отсюда уравнение (4.6), достаточно положить S = ½ω0t. Тогда φ' = 2ω0cos(φ/2), а условие tgψ = exp(-2S) дает
Мы показали, что угол φ(t) зависимость которого от t определена этим уравнением, удовлетворяет уравнение (4.6). Общее решение уравнения (4.6) можно найти сдвигом начала отсчета времени, т. е. заменой в формуле (4.9) t на t + t0. Если угол φ близок к π, то для α = (π - φ)/4 получим из (4.9), что α = ехр(-ω0t) (так как tg α α). Таким образом, α удовлетворяет уравнению (4.7).
