Ознакомительная версия.
Есть два способа изменить систему координат. Можно сделать глобальное изменение, которое применяется одинаково ко всем точкам пространства и времени. Пример такого глобального преобразования симметрии – это равномерный сдвиг параллелей и меридианов, которые используют картографы для составления карт земной поверхности. Если изменение одинаково везде и применяется последовательно по всему земному шару, это никак не повлияет на нашу способность дойти из одной точки в другую.
Но изменения бывают и локальными, отличающимися для разных координат в разных точках пространства-времени. Например, в одной части пространства мы могли бы повернуть оси нашей системы координат под небольшим углом и в то же время изменить масштаб. При условии, что это изменение транслировано вплоть до меры различий в положении и времени, оно не влияет на предсказания общей теории относительности. Следовательно, общая ковариантность – это пример инвариантности локального преобразования симметрии.
Вейль долго и упорно размышлял над теоремой Нетер и работал над теорией групп непрерывного преобразования симметрии, называемых группами Ли в честь норвежского математика XIX века Софуса Ли. В 1918 году он пришел к выводу, что законы сохранения связаны с локальными преобразованиями симметрии, которые он назвал общим термином калибровочная симметрия – довольно непонятным, к сожалению. Руководствуясь трудами Эйнштейна, он рассматривал симметрию в отношении расстояния между точками в пространстве-времени, как в примере с поездом, движущимся по рельсам, и неподвижным измерительным прибором.
Вейль нашел, что, обобщив принцип общей ковариантности до калибровочной инвариантности, он мог использовать теорию Эйнштейна как основание для того, чтобы вывести уравнения Максвелла. Казалось, он открыл теорию, которая могла объединить два взаимодействия, известные в то время науке, – электромагнитное и гравитационное. Тогда инвариантность, тождественная законам сохранения, была бы связана с произвольными изменениями «калибровки» полей. Таким образом Вейль надеялся продемонстрировать сохранение энергии, импульса и момента импульса и электрического заряда.
Сначала Вейль относил калибровочную инвариантность за счет самого пространства. Но, как вскоре показал Эйнштейн, это значило, что измеренные длины стержней и показания часов будут зависеть от того, что недавно с ними происходило. Часы, передвинутые на другое место в комнате, уже не смогут верно показывать время. Эйнштейн написал Вейлю и посетовал: «Не считая расхождения с реальностью, [ваша теория] в любом случае есть грандиозное достижение ума»[14].
Вейля беспокоила эта критика, но он считал, что в таких делах можно положиться на интуицию Эйнштейна. Он отказался от своей теории.
Австрийский физик Эрвин Шредингер поступил на кафедру Цюрихского университета через три года, в 1921 году. Всего через несколько месяцев врачи заподозрили у него легочный туберкулез и прописали ему полный покой. Шредингер с женой Анни поселились на вилле на альпийском курорте Ароза, недалеко от модного лыжного курорта Давос, где пробыли девять месяцев.
Пока Анни выхаживала Шредингера, он размышлял о значении калибровочной симметрии Вейля и, в частности, о периодическом калибровочном множителе, который встречался в теории Вейля. В 1913 году датский физик Нильс Бор опубликовал свою модель строения атома, в которой электроны обращаются вокруг ядра без изменения энергии, которую характеризует их квантовое число. Это целое число определяет энергию орбиты, увеличиваясь в линейной последовательности (1, 2, 3, …) от внутренней к внешней орбите. В то время их происхождение полностью покрывала тайна.
Шредингера поразило то, что может существовать связь между периодичностью, которую подразумевал калибровочный множитель Вейля, и периодичностью, которую подразумевали квантованные атомные орбиты Бора. Он проверил несколько возможных форм для калибровочного множителя, в том числе ту, которая содержала комплексное число, полученное умножением обычного числа на мнимое число i – квадратный корень из –1[15]. В статье 1922 года он предположил, что эта связь имеет глубокое физическое значение. Но это были лишь смутные интуитивные догадки. Реальное значение связи будет ускользать от него до тех пор, пока он не изучит докторскую диссертацию французского физика Луи де Бройля 1924 года.
Де Бройль предположил, что, если электромагнитные волны с виду ведут себя, как частицы[16], может быть, частицы, например электроны, могут вести себя как волны. Что бы это ни было, эти «материальные волны» отнюдь нельзя считать похожими на знакомые нам явления, как, например, звуковые волны или волны на поверхности воды. Де Бройль пришел к выводу, что «материальная волна» «представляет собой распространение в пространстве фазы, то есть это «фазовая волна»[17], [18].
Шредингер задумался: как будет выглядеть электрон, если математически описать его как волну? На Рождество 1925 года он снова уехал в Арозу. Его отношения с женой совсем разладились, и потому он решил взять с собой старую подружку из Вены. Еще он взял с собой записи по поводу диссертации де Бройля. К возвращению 8 января 1926 года Шредингер уже открыл волновую механику, теорию, которая описывает электрон как волну и орбиты атомной модели Бора с точки зрения волновой функции электрона.
Теперь уже было можно провести связь. Возьмем пример группы Ли – группу симметрии U(1), называемую унитарной группой преобразований с единственной комплексной переменной. Она включает преобразования симметрии, которые в основном полностью аналогичны преобразованиям типа непрерывного вращения в круге. Но круг изображается на двухмерной плоскости, образованной «настоящими» измерениями, тогда как преобразования группы U(1) подразумевают вращение в двухмерной комплексной плоскости. Она образована двумя «настоящими» измерениями, одно из которых умножено на i.
Есть еще один способ представить эту группу симметрии – с точки зрения непрерывных преобразований фазового угла синусоидальной волны (см. рис. 7). Разные фазовые углы соответствуют разным амплитудам волны в цикле ее пиков и спадов. Калибровочная симметрия Вейля сохраняется, если фазовые изменения волновой функции электрона соответствуют изменениям сопутствующего электромагнитного поля. Сохранение электрического заряда можно проследить до локальной фазовой симметрии волновой функции электрона.
Связь между волновой механикой и калибровочной теорией Вейля стала явной в 1927 году благодаря немецкому теоретику Фрицу Лондону и советскому физику Владимиру Фоку. В 1929 году Вейль переформулировал и расширил свою теорию в контексте квантовой механики.
Рис. 7
Группа симметрии U(1) – это унитарная группа преобразований с единственной комплексной переменной. В комплексной плоскости, образованной одной настоящей и одной мнимой осью, можно указать любое комплексное число на окружности круга, образованного вращением линии, которая проведена из начала к точке под углом θ, который эта линия составляет с настоящей осью. Эта непрерывная симметрия тесно связана с простым волновым движением, в котором фазовый угол равен углу θ
Корпускулярно-волновой дуализм де Бройля подразумевал, что электрон следует рассматривать одновременно и как волну, и как частицу. Но как это может быть? Частицы – это локализованные фрагменты материи, а волны – нелокализованные возмущения среды (представьте себе рябь на пруду от брошенного камня). Частица находится «здесь», волна – «везде».
Одно из физических следствий корпускулярно-волнового дуализма состоит в том, что мы не можем одновременно с точностью установить местоположение и импульс (особенно скорость и направление) квантовой частицы. Подумайте об этом. Если можно с точностью измерить положение волны-частицы, это значит, что она локализована в пространстве и времени. Она «здесь». Для волны это возможно только в том случае, если ее образует сочетание множества волновых форм с разной частотой, так что они складываются и образуют волну, которая крупнее в одной точке пространства и меньше во всех остальных. В таком случае можно установить ее положение, но за счет полной неопределенности частоты волны, так как волна состоит из множества волн с самыми разными частотами.
Однако в гипотезе де Бройля обратная частота волны прямо связана с импульсом частицы[19]. Неопределенность частоты, таким образом, означает неопределенность импульса.
Обратное также верно. Если мы хотим точно знать частоту волны и, следовательно, импульс частицы, нам нужна единственная волна с единственной частотой. Но тогда мы не можем ее локализовать. Волна-частица остается распространенной в пространстве, и мы уже не можем измерить ее точное положение.
Ознакомительная версия.
