РИСУНОК 2: Путь от А к С проходит через все возможные пункты В: В1, В2, В3.
А теперь давайте применим это к траекториям, которые может выбрать частица. Представим, что мы хотим поехать от А до С через В (рисунок 1). Вероятность добраться этим маршрутом рассчитывается как произведение вероятности поехать из пункта А в пункт В и вероятности поехать из пункта В в пункт С: Р(АВС) = Р(АВ) х Р(ВС).
С другой стороны, вероятность доехать из пункта А в пункт С все равно каким путем (рисунок 2) равна сумме всех вероятностей Р(АВС) путей, проходящих через любой пункт В. Предположим, что существует лишь три способа приехать в пункт С(Вр В2, В3). Вероятность тогда равна Р(АС) = Р(АВ1С) + Р(АВ2С) + Р(АВ3С). Однако в квантовой механике все работает совсем по-другому, так как необходимо возвести волновую функцию в квадрат, чтобы рассчитать вероятности. В первом случае мы должны умножить волновые функции, соответствующие каждому этапу пути, а затем возвести в квадрат. Во втором случае, как для каждой частицы в коробке, нужно сложить волновые функции (которые иначе называют амплитудами вероятности) каждого пути, затем возвести результат в квадрат. В конце 1941 года Фейнман спросил себя, может ли он описать формализм квантовой механики как амплитуды вероятности, соответствующие определенным траекториям, вместо того чтобы описывать его исключительно этими амплитудами, как делалось до него.
Чтобы описать квантовую систему, физики искали «оператор Гамильтона» (математический объект, связанный с общей энергией системы). После его определения они могли переходить к расчетам. Данный метод не работал в мире временных задержек Уилера и Фейнмана. Успеха можно было добиться, только применив формализм Лагранжа и принцип наименьшего действия. Если бы у них это не получилось, то все их усилия были бы тщетны. Но как их применить? Ответ пришел во время пивного фестиваля в таверне «Нассау» в Принстоне. В этот день Фейнман, сидя рядом с Гербертом Йеле, бывшим студентом Шрёдингера, спросил его о том, знает ли он кого-то, кто уже применял принцип наименьшего действия в квантовой механике. Его лицо осветилось в тот момент, когда Йеле ответил, что Дирак, один из его кумиров, написал статью по этому поводу восемь лет назад.
Принцип наименьшего квантового действия
Упомянутая статья называлась «Лагранжиан в квантовой механике». Дирак высказывал мысль, что данный метод мог быть очень продуктивным и показывать неплохие результаты, так как он использовал принцип наименьшего действия, и лагранжиан мог быть простым способом ввести результаты теории относительности Эйнштейна.
Мы не нашли ничего ошибочного в теории квантовой электродинамики. Исходя из этого, я сказал бы, что речь идет о жемчужине научной мысли.
Ричард Фейнман «Свет и материя: странная история» (1954)
В своей статье Дирак подошел к проблеме так же, как и Фейнман, то есть рассчитывал вероятность, связанную с траекторией частицы. Но Дирак не углублялся в данную тему, а работал только над некоторыми деталями. Это Фейнмана не смущало, так как он знал уже достаточно, чтобы следовать намеченному Дираком пути. Его больше беспокоило следующее высказывание английского физика: «Мы должны ожидать, что существует квантовый аналог величины...» «Что это слово [аналог] делает в статье о физике?» —взорвался Фейнман. — Если два выражения аналогичны, не являются ли они тогда равными?» «Нет, — ответил ему Йеле, — несомненно, Дирак не хотел сказать, что они равны». Тогда Фейнман подошел к доске и начал делать расчеты. Дирак был прав, они не были равны. Тогда он подумал: «Может быть, если добавить константу...»
Он начал писать так быстро, что Йеле не мог угнаться за ним, прыгая от одного уравнения к другому, пока на доске не появилось что-то очень знакомое: уравнение Шрёдингера. Действительно существовала связь с формализмом Лагранжа! Как одержимый, Йеле начал переносить в тетрадь уравнения, написанные на доске. Слово «аналог», употребленное Дираком, означало «пропорциональный». Фейнман только что обнаружил нечто очень важное. Только один вопрос еще его мучил: как великий Дирак мог этого не учесть? Таким образом, когда он встретил его в 1946 году во время празднования 200-летия Принстона, между ними состоялся следующий диалог.
— Знали ли вы, что величины не аналогичны, а пропорциональны? — спросил Фейнман.
— В самом деле? — спросил Дирак.'
— Да.
— О! Как интересно!
Учитывая крайне молчаливый характер Дирака, это был очень долгий разговор...
Применяя лагранжиан, Фейнман воспроизвел результаты, полученные при решении уравнения Шрёдингера. Чтобы рассчитать амплитуду вероятности серии траекторий, нужно было просто назначить специальную величину (положительную или отрицательную) для каждого пути, пропорциональную общему действию этого пути (которое само является кратным постоянной Планка). Затем было достаточно суммировать все эти величины, связанные с амплитудами вероятности каждого пути, и возвести результат в квадрат. Таким образом, получаем вероятность того, что мы переместимся из пункта А в пункт С в определенное время. Фейнман держал в своих руках замечательный математический инструмент, позволявший исследовать очень сложные проблемы, такие, например, как его собственная теория полуопережающих и полузапаздывающих потенциалов.
В то время, когда он писал свою докторскую диссертацию, болезнь Арлин прогрессировала. Была заражена лимфатическая система. В 1941 году она продолжала визиты к врачам, чтобы лечить это «воспаление гланд», — ее семья назвала ей этот ложный диагноз, чтобы скрыть окончательный вердикт врачей: болезнь Ходжкина, вид злокачественной и смертельной лимфомы. Фейнман не желал обманывать Арлин. Влюбленные решили, что между ними никогда не будет лжи — даже лжи во благо. Как можно было попросить его солгать по такому важному вопросу?
Родители Арлин, врачи, ее родная сестра — все настаивали на том, что это жестоко — рассказать девушке во цвете лет о ее скорой смерти. Противостояние закончилось тем, что сопротивление Фейнмана было сломлено, и молодой человек решил пойти на компромисс. Он написал «прощальное письмо» и всегда носил его с собой, чтобы отдать его Арлин, если она узнает правду. Фейнман был уверен, что она никогда его не простит за такой обман.
Долго ждать не пришлось. Возвращаясь из больницы, Арлин услышала рыдания своей матери, которая рассказывала соседке об ужасной судьбе, ожидавшей ее дочь. Когда Ричард пришел ее навестить, Арлин очень настойчиво потребовала объяснений, и у него не было другого выхода, как признаться. Фейнман отдал ей письмо и попросил выйти за него замуж.
Но беда никогда не приходит одна. Когда Фейнман пришел поговорить с ректором о том, что его невеста умирает и что вскоре он женится на ней, то выяснил: в таком случае ему придется лишиться тех 200 долларов, которые он зарабатывал в год в качестве ассистента профессора. Фейнман начал обдумывать возможность прекратить исследования и пойти на работу. Он стоял перед этой дилеммой, когда из больницы ему сообщили, что обнаружили палочку Коха в лимфатических узлах Арлин.
Война разворачивается
После обращения Эйнштейна с письмом к президенту Рузвельту идея о создании атомной бомбы становится в Вашингтоне все более популярной, хотя для ее воплощения пока предпринято мало шагов. Тем не менее угрозу, которую представляет ось Берлин-Рим (военный союз Германии и Италии), воспринимают всерьез.
28 июня 1941 года Рузвельт подписывает исполнительный приказ 8807 о создании Бюро научных исследований и развития, предназначенного для координации любых научных исследований в военных целях. Шестью днями ранее немцы начинают операцию «Барбаросса» с целью завоевания Советского Союза. Япония осуществляет политическое давление на восточные страны, и с апреля ее высшее командование планирует захват природных ресурсов Южной Азии, контролируемых Англией и Нидерландами. В декабре Япония атакует американские базы на Перл-Харборе и Гуаме, а также Гонконг и Филиппины (которые в тот момент были автономией в составе США), затем захватывает Таиланд и Малайзию. Когда Соединенные Штаты Америки вступают в войну, четверть из более чем 7000 физиков, которых насчитывает страна, привлекается для военных разработок при Бюро научных исследований и развития. А Фейнман погружен в написание своей докторской диссертации.
Президент Соединенных Штатов Америки Франклин Делано Рузвельт подписывает декларацию об объявлении войны Германии, 11 декабря 1941 года.
Она страдала не болезнью Ходжкина, а редкой формой туберкулеза. Врачи и не думали проверять данное предположение, так как статус больной не соответствовал категории риска: Арлин не была ни слишком молодой, ни достаточно бедной, чтобы находиться под угрозой «белой чумы». Хотя не существовало эффективного лечения от туберкулеза, фатальный исход не был неизбежным, и со свадьбой больше не спешили. Когда Арлин объявила об этом Ричарду, он заметил легкое разочарование в голосе своей невесты.
