Несколько лет спустя в письме к одному из своих первых учеников Якобу Бернулли Лейбниц написал, что именно эта работа Паскаля со всей ясностью показала ему, что задачи о касательных и квадратурах являются взаимно обратными. Лейбниц добавил, что у Паскаля, должно быть, была повязка на глазах — ничем иным нельзя объяснить то, что он сам не заметил этого. Лейбниц продемонстрировал племяннику Паскаля свою вычислительную машину в июне 1674 года. Паскаль также придумал вычислительную машину, которая, однако, была способна выполнять только сложение и вычитание. Лейбниц выразил сожаление, что некоторые статьи Паскаля были до сих пор не опубликованы, и попросил его племянника отправить ему несколько рукописей этого французского математика и философа.
В течение 1673 года Лейбниц с помощью характеристического треугольника совершил несколько важных открытий. В частности, он открыл метод преобразования, напоминающий современный метод интегрирования по частям. Взяв за основу этот метод, он смог найти разложение в ряд для функции арктангенса и получил свой знаменитый бесконечный ряд, с помощью которого можно вычислить число 71. В декабре 1673 года Лейбниц обсудил с Гюйгенсом возможность решения классической греческой задачи о квадратуре круга с помощью этого ряда.
Далее он занялся решением задач о касательных, взяв за основу метод де Слюза. Хоффман, подробно изучив рукописи Лейбница того периода, сделал вывод, что в своей работе Лейбниц опирался на труды вышеупомянутых авторов, к которым следует добавить Гюйгенса, и не использовал работы Ньютона и Барроу.
В письмах, отправленных во второй половине 1674-го и в начале 1675 года, Лейбниц сообщил Ольденбургу о своих результатах, полученных, по его словам, отчасти «благодаря редкой удаче». В частности, он ознакомил Ольденбурга (не приведя ни подробностей, ни формулы) с рядом для вычисления числа 71, разложением функции арксинуса в ряд, а также косвенно упомянул метод преобразования. На этот раз Ольденбург ответил ему в более критическом тоне, чем в ранний период их знакомства, так как в то время Лейбниц не скрывал своего дилетантства. Также не приводя ни подробностей, ни формул, он сообщил Лейбницу о результатах, полученных британскими математиками, в частности Ньютоном и Джеймсом Грегори: «Мне хотелось бы обратить ваше внимание на то, что теория и метод измерения кривых, которые использует уже упомянутый Джеймс Грегори, а также Исаак Ньютон, могут быть применены к любой кривой, механической или геометрической». В письме от 20 марта 1675 года Лейбниц просит подробнее рассказать об этих результатах.
Ольденбург переадресовал письмо Коллинзу, после чего 12 апреля направил Лейбницу ответ, в котором указывается разложение в ряд для синуса и арксинуса, полученное Ньютоном, ряды Грегори для тангенса и арктангенса, а также некоторые результаты, касающиеся интерполяции, квадратур и других задач. Как бы то ни было, в письме приводились лишь результаты, но не объяснялось, каким способом они были получены. Лейбниц приписал авторство этих рядов Ольденбургу и, по мнению Хоффмана, не совсем понял, что попало ему в руки, так как пообещал сравнить эти результаты со своими и дать по этому поводу комментарий, но так никогда и не сделал этого. Так как о некоторых из этих рядов Лейбниц узнал позднее и из других источников, это дало Ньютону основания впоследствии обвинить его в плагиате результатов, полученных через Ольденбурга.
Мы можем достаточно точно указать, когда Лейбниц открыл анализ бесконечно малых. Это произошло в конце октября — начале ноября 1675 года, если вообще уместно приводить столь точные даты для такого значимого открытия. В сохранившихся рукописях, которые относятся к этому периоду, особенно тех, что датированы 29 октября и 11 ноября, Лейбниц вводит систему обозначений математического анализа и описывает с ее помощью алгоритм, в котором впоследствии станут заметны различия с работами его предшественников, приводит правила анализа и определяет интегрирование и дифференцирование как взаимно обратные операции. Хоффман пишет: «После того как был сделан этот первый, решающий шаг в сторону «алгебраизации» задач о бесконечно малых, перед этим человеком, умевшим определить характерные и общие элементы среди мешанины похожего, открылась новая картина мира. <…> Он четко понимал, чего не хватает в созданном им математическом анализе, но знал, что эти недостатки можно исправить и что путь в новый мир успешно открыт».
Ключевую роль сыграли работы по решению задач поиска кривой по заданной касательной, которыми Лейбниц занимался в октябре 1675 года. За год до этого он решил задачу определения кривой по известной поднормали.
В рукописи, датируемой 29 октября 1675 года, Лейбниц ввел знак ∫ — стилизованную букву S, первую букву латинского слова summa для обозначения суммы бесконечно малых. До этого использовалась аббревиатура omn. — от латинского de omnium («все»), введенная Кавальери. Лейбниц писал: «Будет удобно записывать omn. как ∫, так что ∫l = omn.l, то есть сумма l».
Далее в этой же рукописи он вводит букву d для обозначения дифференциала.
Изначально он поместил это обозначение в знаменатель: «Это получается обратным расчетом. То есть допустим, что ∫l = уа, где l = ya/d. Тогда с ростом ∫d будет уменьшаться в размерах. Однако ∫ означает сумму, a d — разность».
Спустя несколько дней в рукописи, датированной 11 ноября 1675 года, он переместил d в числитель и записал — как dx. В этой же рукописи Лейбниц задается вопросом о равенстве d(xy) и dxdy, а также
Он делает вывод, что равенство между ними не выполняется, однако не приводит верных формул для нахождения дифференциала произведения и частного.
Чтобы увидеть нечто общее среди беспорядочного множества результатов, полученных его предшественниками при решении задач о квадратурах, центрах тяжести, касательных, задач нахождения кривой по заданной касательной и других, и сформулировать понятия интегрирования и дифференцирования, требовался алгебраический язык. Этот язык Лейбниц в совершенстве освоил во время работы над решением уравнений, проведенной за несколько месяцев вплоть до октября 1675 года. Следует отметить, что Лейбниц не преуспел в решении уравнений, однако освоил язык алгебры, без которого не смог бы впоследствии открыть свой метод математического анализа.
Дом, в котором жил Лейбниц во время пребывания в Ганновере.Лейбниц сообщил основу своего метода Ньютону в ответ на его письма, переданные через Ольденбурга в июне и октябре 1676 года. Эта переписка Ньютона и Лейбница впоследствии сыграла решающую роль в споре о том, кто же первым создал анализ бесконечно малых. Как мы уже говорили, Ньютон отправил Лейбницу два письма: так называемое Epistolae prior, датированное 13 июня 1676 года, и Espistolae posterior, датированное 24 октября 1676 года. Ответы Лейбница датируются 17 августа 1676 года и 11—12 июня 1677 года. Они не озаглавлены, но их значение не менее масштабно. В своих письмах Ньютон излагает Лейбницу большую часть De analysi и De methodis о разложении в ряд, но почти не упоминает о своей версии анализа бесконечно малых. Лейбниц же в своих письмах излагает свой метод полностью. Ньютону следовало понять, что метод Лейбница столь же полон, как и его собственный, и вовремя опубликовать свои труды, чтобы доказать свое первенство. Вестфолл пишет: «Можно лишь предполагать, каковы были бы возможные последствия этого шага, но можно с уверенностью сказать, что в этом случае обе стороны не запятнали бы себя позорными поступками, которые в итоге совершили». Валлис чрезвычайно проницательно заметил: «По моему мнению, господину Ньютону следует усовершенствовать свою нотацию и незамедлительно опубликовать эти письма [имеются в виду два Epistolae]».
Годы, проведенные в Париже, стали для Лейбница непростыми. После смерти курфюрста Майнца в феврале 1673 года и изменений в ходе военных действий между Францией и Голландией политическая и дипломатическая миссия Лейбница потеряла смысл. Лейбниц опасался, что ему прикажут вернуться в Германию. Однако его новый покровитель предложил ему остаться в Париже и продолжать работу.
Лейбниц предпринял несколько неудачных попыток получить должность во французской столице. Ему не удалось получить пост дипломата (этому помешало его происхождение), а также не удалось занять оплачиваемый пост во Французской академии наук, где он представил свою вычислительную машину в начале 1675 года. (К сожалению для него, оплачиваемые должности уже занимали Гюйгенс и Кассини, и Академия не могла принять еще одного иностранца.) Несмотря на то что Лейбниц в течение всей второй половины того года использовал все свои многочисленные связи, попытка получить должность заведующего кафедрой в Коллеж де Франс после смерти Роберваля также окончилась неудачей. Шло время, но единственное предложение, которое ему поступило, — это приглашение на службу к графу Иоганну Фридриху, курфюрсту Ганновера. Лейбниц в конце концов принял предложение, но это означало, что ему придется вернуться в Ганновер, жить вдали от главных научных центров того времени и полностью зависеть от курфюрста, рискуя потерять должность в любой момент. Ему удалось продлить свое пребывание в Париже, насколько это было возможно — сначала до мая 1676 года, затем до октября. 4 октября он оставил Париж и направился в Германию, где его ждала должность библиотекаря в Ганновере. К работе следовало приступить в январе. Он больше никогда не возвращался в город, где в условиях величайшего давления, обеспокоенный будущей карьерой, он открыл анализ бесконечно малых.
