Настало время немного задержаться на хронологии. В этой книге в хронологическом порядке уже было рассказано почти о всей математической жизни Ферма. Но "другая жизнь" ученого, о которой сейчас пойдет речь, протекала параллельно и в некоторых случаях даже предваряла описанную нами, поэтому стоит вернуться назад во времени, в Бордо.
Ферма жил в Бордо во второй половине 1620-х годов. К тому времени он уже усовершенствовал свой метод максимумов и минимумов и начал восстанавливать работу Аполлония Пергского о плоских геометрических местах, прямой линии и круге. Это сочинение было утеряно, но тот факт, что Папп оставил описания многих античных работ, позволил математикам XV и XVI веков, которые превратились в настоящих археологов знания, попробовать восстановить утраченное. Деятельность Виета включала в себя, во-первых, такое восстановление, а во-вторых, перевод результатов классиков на новый язык аналитического искусства.
Ферма удалось в значительной степени восстановить работу Аполлония согласно тому, как ее резюмировал Папп, который обобщил 147 теорем и 8 лемм, но одна теорема мешала ему двигаться дальше. Частичное доказательство, которое он привел, его не удовлетворяло. По возвращении в Тулузу в 1631 году Ферма начал анализировать данную проблему в свете новых методов. Уже в 1635 году появляются явные признаки того, что он использовал эти методы для решения классических проблем. В конце концов он изложил свою теорию в маленьком трактате под названием "Введение к теории плоских и пространственных мест" (на латыни Ad locos pianos et solidos isagoge, далее — Isagoge), который послал в Париж Мерсенну и Робервалю в конце 1636-го — начале 1637 года. Именно тогда Ферма начал свою переписку с Мерсенном, наводняя Париж удивительными результатами, не только по теории чисел, но и по геометрии и тому, что с течением времени было названо анализом. Его работы привлекли внимание французского математика Жиля де Роберваля (1602-1675), который работал с похожими проблемами и стал преданным поклонником судьи из Тулузы.
Isagoge было первым этапом великой революции. Виет уже предлагал решения геометрических задач алгебраическими методами, но его задачи сводились к нахождению неких точек (выполнявших бы некое условие) или пересечений между простыми геометрическими фигурами, такими как прямая и круг, в которых решением неизменно была точка. Ферма пошел еще дальше, ему удалось достичь революционного результата: ни больше ни меньше — свести всю геометрию (царицу наук, согласно Платону) к скромной алгебре, служившей еще поколение назад только для решения числовых задач, не имеющих видимого математического значения. Тулузский математик изобрел аналитическую геометрию. Поспешим заметить, что другой великий мыслитель сделал то же самое почти одновременно и независимо. Это Рене Декарт, которому обычно приписывают первенство до такой степени, что координаты, которыми мы пользуемся, получили название "декартовых". Однако, хотя нет сомнений в том, что идеи у Декарта созрели раньше, чем у Ферма, именно тулузский ученый был первым, кто их опубликовал.
В главе 2 этой книги говорится о том, как математики ищут мосты между областями, которые на первый взгляд различны и не имеют никакой связи. Один из первых примеров подобной деятельности по построению мостов — это аналитическая геометрия, которая так называется, поскольку в ней используется аналитическое искусство (алгебра) для описания всей геометрии. Внезапно оказывается, что все геометрические проблемы могут быть решены с помощью алгебры на основе определения кривых как геометрических мест точек.
График кривой в двумерном пространстве, общее уравнение которой у = ax2 + bx2 +cx + d.
Геометрическое место точек — это множество точек, обычно бесконечное: то, что мы называем кривой, несмотря на то что не все эти множества — кривые в обыденном понимании. Данное множество должно обладать неким свойством. Например, все точки, равноудаленные от одной неподвижной, определяют геометрическое место точек под названием 4окружность", а все точки, расстояние от которых до заданной точки равно расстоянию до заданной прямой, определяют геометрическое место точек под названием "парабола".
Таким образом, каждый раз можно определять все более сложные кривые.
Во время изучения геометрических мест точек, определенных Аполлонием, у Ферма, так же как и у Декарта, случилось озарение: эти множества, находясь на плоскости, могут быть полностью определены уравнением с двумя неизвестными.
Оказалось, что размерность не зависит, как считалось до того времени, от степени уравнения — от того, квадратное оно или кубическое. Она зависит от чист неизвестных. Так, если у нас есть две неизвестные, то получатся две кривые на плоскости (два измерения). Если переменная только одна, получаются точки на линии (одно измерение), которые анализировал Виет. Если их три, получаются поверхности в трех пространственных измерениях.
Не важно, что уравнение — это многочлен третьей степени; оно определяет не трехмерную поверхность, а, если в нем две неизвестные, всего лишь двумерную кривую (см. рисунок).
Теперь ничто не мешало анализировать многочлены большей степени. Это изменение понятия размерности стало шагом на пути к аналитической геометрии. К тому же эти переменные были связаны друг с другом посредством неопределенного уравнения, то есть уравнения с бесконечным числом точек — геометрического места точек.
До аналитической геометрии геометрические места точек описывались в соответствии с их свойствами, например в случае с коническими сечениями — пересечениями объема и плоскости. Аналитическая геометрия полностью изменила парадигму, позволив, чтобы ограниченное число кривых, которые изучали греки и которые должны были строиться по одной, умножилось до бесконечности. Это не преувеличение. Действительно, число уравнений с двумя неизвестными бесконечно, и так как каждому из них соответствует кривая, количество возможных кривых также бесконечно.
Кроме того, алгебраизация геометрии позволяла ввести в последнюю гибкость алгебраических операций — сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня, — что вместе с теорией уравнений позволяло решать многие задачи почти механически.
АПОЛЛОНИЙ И КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
Аполлоний Пергский (ок. 262 — ок. 190 до н.э.) систематизировал изучение кривых, называемых коническими сечениями, которым он дал их сегодняшнее название. Конические сечения определяются пересечением плоскостью конуса под разными углами. Можно доказать, что, кроме случаев вырожденных сечений, все виды конических сечений можно свести к следующим случаям. Если пересечь конус параллельно образующей, результатом сечения будет парабола; если угол между плоскостью и осью конуса больше, чем угол при образующей, получается эллипс; когда секущая плоскость перпендикулярна оси — окружность; наконец, если плоскость пересекает обе полости конуса, мы видим гиперболу. Свойства, сформулированные математиком из Перге, позволили каждой из них иметь определяющую характеристику, которая отличает ее от всех остальных конических сечений и выражена в виде пропорции. Именно на основе этих характеристик Декарт и Ферма строили свое изучение соответствующих уравнений.
Окружность
Эллипс
Парабола
Гипербола
В сравнении с трудоемким начертательным методом греческих геометров аналитическая геометрия была чрезвычайно мощным методом решения задач. Это как раз доказал Ферма, взявшись за некоторые теоремы Паппа, которые до этого никто не мог доказать, а также занявшись задачей Галилея и поправив самого тосканского ученого. В то время как Галилей думал, что пушечное ядро, падающее к центру Земли, движется по круговой траектории, Ферма выяснил, что данная траектория является спиралью. Галилей в переписке с Ферма согласился с его поправкой.
Между тем работа Декарта в этой области хотя и привела к крайне богатым результатам, была им заброшена. Он хотел показать новый образ мысли, а не находить новые математические результаты. Парадоксально, что в 1637 году, когда математическая карьера Ферма едва только начиналась, Декарт по собственной воле заканчивал свою. Опубликованная им "Геометрия" была частью книги, содержащей три научных трактата, которым предшествовало знаменитое "Рассуждение о методе". Она в глазах самого Декарта была только иллюстрацией того метода, что он открыл, неоспоримым доказательством силы его философии. Эта работа, опубликованная в 1637 году, стала лебединой песней математики Декарта, а именно в то время Ферма начал работать с наибольшим пылом. Эти два гения имели между собой мало общего. Декарт внес огромный вклад в науку, однако просто как факт следует отметить, что его математический гений блистал лишь в течение нескольких чудесных лет. Декарт был прежде всего философом, а Ферма — математиком в чистом виде. Они использовали разные подходы к решению задач. Для Декарта было достаточно разработать метод, а Ферма было необходимо применять его к решению математических задач.
