Собственно, в Methodus Ферма сформулировал способ нахождения касательной к любой заданной кривой. Он с гордостью говорил, что этот метод абсолютно общий и работает всегда, но не обосновывал своего утверждения. Упомянутый им метод нахождения касательных, естественно, исходил из его же метода максимумов и минимумов. Действительно, Ферма понял, что, так как классические греческие кривые (конические сечения, окружности и прямые линии) были определены через пропорции, решить задачу касательной равносильно тому, чтобы найти минимум некоей пропорции между двумя величинами. Его метод максимумов и минимумов также работал для максимизации или минимизации некоторой величины или пропорции. Следовательно, нахождение касательной было его естественным применением.
Рассмотрим метод Ферма детально. Возьмем параболу, показанную на рисунке. Мы ищем касательную в точке В, прямую ВE. Ферма рассматривал произвольную точку О, внешнюю по отношению к параболе. Здесь ясно видно, что он был еще далек от понятия бесконечно малых; в анализе бесконечно малых точка О должна была находиться произвольно близко к точке В. Затем он рассмотрел свойство параболы, определенное Аполлонием в виде пропорции:
BC2/ZI2 - CD/DI,так как OI >ZI, CD/DI > BC2/OI.
По подобию треугольников ВСЕ и OIE получается, что
ВС/OI = СЕ/TE, поэтому CD/DI > CE2/IE2.
Пусть CD = d, CI = е и СЕ = а. Этот последний отрезок — подкасательная. Тогда
d/(d - e) > а2/(a - e)2
и d(a - е)2 > a2 (d - е), откуда da2 - 2dae + de2 > da2 - a2e.
Затем приравниваются оба члена неравенства: da2 - 2dae + de2 ≡ da2-a2e, и после сокращения и перестановки членов: de2 + a2e ≡ 2dae. При делении на е: de + a2 ≡ 2da. Наконец, Ферма игнорировал член, содержащий е: а2 = 2da, из чего а = 2d. Таким образом можно найти точку Е, определив подкасательную к параболе ( СE ).
КАСАТЕЛЬНЫЕ К МЕХАНИЧЕСКИМ КРИВЫМ
В своей "Геометрии· Декарт сделал различие между геометрическими и механическими кривыми. Первые имели выражение в алгебраических уравнениях, то есть многочленах. Механические кривые, наоборот, не имели такого выражения; они представляли собой траекторию перемещения некоей точки, которая двигалась в соответствии с определенными правилами. В "Геометрии" Декарт счел невозможным анализ механических кривых. Зато Ферма в своей безымянной рукописи 1640 года изучал три геометрические кривые: циссоиду, конхоиду и декартов лист, а также циклоиду — механическую кривую. Циклоида — это ответ на кажущийся парадокс Аристотеля о расстоянии, которое проходят две точки, расположенные в двух концентрических окружностях, катящихся по линии. Циклоида образуется движением определенной точки колеса, катящегося без скольжения по прямой. При анализе этой проблемы Ферма был вынужден, "чтобы избежать иррациональности", приравнять отрезок RB касательной к отрезку RN кривой.
Methodus был написан до того, как Ферма изобрел аналитическую геометрию. Единственное представление о классических кривых все еще принадлежало Аполлонию. Именно поэтому Ферма продолжал применять геометрические определения грека вместо своего более позднего алгебраического представления. Но в "Аналитическом исследовании" Ферма уже был способен использовать огромную силу своих алгебраических уравнений для подхода как к проблеме максимумов и минимумов, так и к проблеме касательных. Действительно, в его записях было каждый раз все меньше диаграмм. Ему было достаточно уравнения, которое полностью определяло кривую, для глубокого анализа ее свойств. С помощью такого уравнения он мог искать максимумы и минимумы, с одной стороны, и касательные, с другой. Алгебраический метод вновь показывал свою эффективность. В последующие годы он пошел еще дальше, практически дойдя до понятия произвольно малого расстояния в работе о касательной к циклоиде, то есть находясь на самом пороге дифференциального исчисления.
Но Ферма лишь наполовину осознавал огромную силу своих методов. Увлеченный — как и все его современники, а также его учитель Виет — восстановлением великого труда греков, он не обратил внимания на то, что его мысль пошла по пути, открывающему новые возможности перед математикой. Захваченный прошлым, он не смог справедливо оценить важность своих достижений.
Действительно, вспомним, что производная в заданной точке кривой определяется как угловой коэффициент касательной к данной точке. Ферма этого не видел... поскольку на самом деле ему не пришло в голову рассматривать угловой коэффициент как уравнение. Действительно, он вычислял не угловые коэффициенты, а подкасательные, то есть проекции касательной на ось абсцисс, и делал справедливый вывод о том, что как только вычислена данная проекция, нарисовать касательную тривиально просто. Очевидно, именно по этой причине он так и не заметил, что угловой коэффициент может быть также выражен в виде кривой, определенной уравнением. Ферма был неспособен увидеть, что существует отношение между двумя уравнениями с двумя переменными, в котором дифференцирование — это способ превратить одно в другое. Как бы то ни было, нам нужно вернуться в то время, когда Methodus только начал распространяться: аналитическая геометрия и обоснования "Аналитического исследования" были в будущем. В Methodus есть только инструкции. Чтобы поверить Ферма, требовалась благосклонность к автору, а в то время жил человек, который очень недружелюбно относился к Пьеру де Ферма и совсем не собирался проявлять к нему подобных чувств. Этим человеком был не кто иной, как Декарт.
До определенного момента уже занимавшийся научной деятельностью Декарт не знал о существовании Ферма. В 1637 году, когда едва начиналась переписка Ферма с Парижем, он заканчивал свой знаменитый труд "Рассуждение о методе", куда в качестве приложений были включены три работы. В них Декарт пытался проиллюстрировать мощь своей философии. Одной из них была "Диоптрика", другой — "Геометрия", в которой ученый впервые излагал свое понимание теории уравнений и аналитической геометрии. Он был уверен, что никто не сделал ничего подобного. Декарт полагал, что заново создал философию, сформулировав правила корректного мышления и проиллюстрировав, как их применять в математике и физике.
К тому времени он уже вступил в полемику с некоторыми математиками. Судьба распорядилась так, что этими математиками были Роберваль и учитель Ферма, Богран, — друзья Ферма, на которых он рассчитывал в период своей известности в кружках Парижа. Декарт сурово раскритиковал "Геостатику" Бограна. В свою очередь, Богран обвинил Декарта в том, что тот совершил плагиат теории уравнений Виета, его учителя. Кроме того, похоже, что Богран воспользовался своей должностью королевского секретаря (которая давала впечатляющую власть), чтобы получить экземпляр "Диоптрики" Декарта. Сочинение оказалось в руках Ферма до публикации, в связи с чем на Мерсенна обрушился гаев Декарта.
Обеспокоенный Мерсенн попросил Ферма не комментировать трактат публично, а направлять всю переписку через него. Ферма, не знавший всего, что произошло, воспринял это как просьбу прокомментировать труд Декарта. В своем письме он говорил, что "Диоптрика" кажется ему попыткой исследователя вслепую изучать что-то в темноте и результаты его — плод круговой аргументации: автор доказывает свои тезисы с помощью аргументов, истинность которых основывается на его же тезисах. Мерсенн, поколебавшись, переслал это письмо Декарту. Примерно в то же самое время Декарт получил экземпляр первого трактата Ферма, посвященного восстановлению работы Аполлония. Поскольку это была ранняя работа, Декарт отнесся к ней с презрением.
Ученый решил, что Ферма не понял его "Диоптрику", поэтому через Мерсенна порекомендовал ему хорошо ее прочитать, добавив, что если он также проштудирует его "Геометрию", то сможет стать успешным учеником. Очевидно, что Декарт недооценивал своего оппонента. Через некоторое время он получил экземпляры Methodus и Isagoge, присланные Ферма, гордость которого, возможно, была уязвлена, и он хотел доказать свою значимость. В этот момент Декарт явно понял свою ошибку: Ферма был математиком высшего уровня. Действительно, он тоже открыл аналитическую геометрию, которой так гордился сам Декарт!
Вместо того чтобы признать талант своего соперника, Декарт решил, что Ферма — участник заговора (в котором также замешаны ненавидимые им Роберваль и Богран), направленного на то, чтобы разрушить работу всей его жизни, его сокровище, "Рассуждение о методе". Действительно, в письме Мерсенну в январе 1638 года Декарт жаловался на то, что его интеллектуальное детище пытаются задушить еще в колыбели. И хотя ученый и не говорил этого открыто, возможно, он также думал, что из-за бестактности Бограна и Мерсенна Ферма совершил плагиат его аналитической геометрии. Далее мы приводим фрагменты ответов Декарта Мерсенну.
