Последняя задача, которую стоит разобрать, — это алгоритм получения пифагоровых троек — трех натуральных чисел, подтверждающих теорему Пифагора, например 3, 4, 5; 5, 12, 13 и так далее, то есть таких чисел a, b и с, при которых а2 + b2 = с2.
Возможно, в Древнем Вавилоне знали метод нахождения пифагоровых троек, о чем свидетельствует вавилонская глиняная табличка, которую называют Plimpton 322. В ней содержится несколько троек, выраженных в шестидесятых долях. Пифагору приписывается авторство метода, позволяющего получить эти числа, основанного на гномоне квадратных чисел. Квадратное число — это то, которое можно выразить в виде квадрата (см. рисунок). Следовательно, мы имеем n² + (2n + 1) = (n+1)². Для того чтобы составить пифагорову тройку, в которой катет и гипотенуза — два последовательных числа, гномон тоже должен быть квадратом, то есть 2n + 1 = k², где k — нечетное число. Следовательно,
n = (k² - 1)/2, k нечетное.
Так можно получить тройки n = (k² - 1)/2, k, n +1 = (k² + 1)/2,
где k — нечетное число, образующее следующие таблицы.
Последовательность квадратных чисел 1, 4, 9,16 (n - 1)², n². Чтобы перейти от cn = n² к cn + 1 = (n + 1)², нужно добавить гномон, равный 2n +1. То есть между ними всегда будет нечетное число.
a = k, где k нечетное 3 5 7 9 11 13 15 ... b = n = n = (k² - 1)/2 4 12 24 40 60 84 112 ... c = n + 1 = n = (k² + 1)/2 5 13 25 41 61 85 113 ...
Таким образом можно получить бесконечное множество троек, но не все: например, здесь не хватает тройки 8, 15, 17, в которой разница между катетом и гипотенузой равна двум единицам.
Платону приписывают обобщение этого метода Пифагора. Необходимо перейти от (n - 1)² к (n + 1)². Для этого надо сложить два гномона: 2n - 1, позволяющий перейти от (n - 1)² к n², и 2n + 1, позволяющий перейти от n² к (n + 1)². Всего надо добавить 4n. То есть (n - 1)² + 4n = (n + 1)². Значит, n должно быть квадратным числом: n = k². Так мы получаем тройки k² - 1, 2k и k² + 1. При k = 4 мы получим уже упомянутую тройку 8,15,17. Запишем это в виде таблицы.
k 2 3 4 5 6 7 8 a = k²- 1 3 8 15 24 35 48 63 b = 2k 4 6 8 10 12 14 16 с = k² +1 5 10 17 26 37 50 65
Приведенные таблицы различаются: в первой представлены простые тройки, то есть такие, у которых нет общего делителя; во второй цифры в столбцах с нечетным к можно разделить на 2, и мы получим некоторые значения первой таблицы. Можно сказать, что первая таблица включена во вторую. Но существует ли алгоритм, позволяющий получить все возможные пифагоровы тройки? Ответ на этот вопрос положительный, и дает его сам Евклид в лемме 1 книги X:
Существуют два квадратных числа, которые вместе образуют еще один квадрат.
Не вдаваясь в подробности, скажем, что Евклид использовал алгоритм α = λ²-μ², b = 2λμ, c = λ² + μ², где λ и μ — взаимно простые числа, имеющие разную четность. Это условие необходимо соблюдать для того, чтобы тройки не повторялись и все составляющие их числа были простыми, без общих делителей. Действительно, нас интересуют только простые тройки, так как очевидно, что при любом натуральном числе k 3k, 4k, 5k тоже будут натуральными, ведь 3, 4 и 5 — натуральные. Все вышесказанное справедливо для любой пифагоровой тройки a, b, c.
ГЛАВА 8
Распространение «Начал»
Самым убедительным доказательством исторического значения труда Евклида являются многочисленные его копии и переиздания. Ни одно другое научное произведение античности не может похвастаться таким количеством переводов, изданий и комментариев.
«Начала» являют собой блестящий синтез трех веков достижений древнегреческой математики. Значение этого наследия было оценено уже в эпоху самого Евклида. На протяжении всей истории — в римский период, арабский, в Средние века и вплоть до наших дней — этот текст множество раз публиковали в более или менее полном виде.
Впервые он был издан в 370 году Теоном Александрийским; его версия может считаться основной традицией, на которую опираются все последующие.
Одной из самых великих научных традиций является арабская. Математики IX-X веков из багдадского Дома мудрости (эта эпоха и место имели огромное историческое значение для мировой культуры, науки в общем и для математики в частности) оценили значение «Начал», и благодаря их исследованиям и комментариям (из которых надо особо отметить комментарии Аль-Харизи и Ибн Малика) труды Евклида и других греческих мыслителей начиная с XII века стали возвращаться в Европу. К тому же периоду относятся переводы «Начал» на латынь, над которыми особенно потрудились переводчики из знаменитой толедской школы и, в меньшей мере, школы города Риполь.
МАНУСКРИПТЫ И ИЗДАНИЯ
Самый древний сохранившийся манускрипт «Начал» Евклида относится к X веку (если не учитывать отрывок, датированный между 75 и 125 годами). Он был обнаружен на свалке города Оксиринх, близ современной Эль-Бахнасы, в 160 км от Каира, во время раскопок, проводимых Бернардом Гренфеллом и Артуром Хантом для Оксфордского университета в 1896— 1897 годах. В таблице кратко перечислены основные рукописи «Начал». От некоторых остался всего один экземпляр.
Место Библиотека Век Оксфорд Бодлианская библиотека IX Ватикан Библиотека Ватикана X Флоренция Библиотека Лауренциана X Болонья Городская библиотека XI Вена Национальная библиотека XII (?) Париж Национальная библиотека XII
Рукопись, хранящаяся в Оксфорде, была создана в 881 году Стефаном, опытным византийским каллиграфом, по заказу Арефы Кесарийского, архиепископа одноименного города в Каппадокии. Она написана широкими, почти квадратными буквами, с легким наклоном влево. В таком же стиле выполнен знаменитый манускрипт «Диалогов» Платона, также сделанный по приказу Арефы и хранящийся в той же библиотеке.
О важности сочинения Евклида для средневековой Европы свидетельствует тот факт, что его первое печатное издание, о котором нам известно, относится к 1482 году. Его выполнил немецкий книгопечатник Эрхард Ратдольт. В его версию, сделанную на основе латинского перевода англичанина Аделарда Батского в XII веке (возможно, с арабского оригинала), вошли комментарии Джованни Кампано.
Основные версии «Начал» Год Город Автор Язык Заголовок 1482 Венеция Джованни Кампано Латынь (с арабского) Preclarissimum opus elementorum Euclidis megarensis una cum commends Campani perspicacissimi in arte geometrica. 1505 Венеция Бартоломео Дзамберти Латынь (с греческого) Euclidis megarensis philosophi platonici mathematicorum disciplinarum Janitores... elementorum libri XIII cum expositione Theonis insignis mathematici. 1509 Венеция Кампано, переработка Луки Пачоли Латынь 1533 Базель Греческий 1572 Пезаро Латынь Euclidis elementorum libri XV, una cum scholiis antiquis. 1574 Рим Латынь Euclidis Elementorum libri XV. 1654 Антверпен Латынь (книги 1—IV; XI-XII) Elementa geometriae planae et solidae. 1703 Оксфорд Греческий и латынь 1804 1808 Париж Греческий, латынь и французский Euclides quae supersunt. Les Oeuvres d'Euclide. 1883 1888 Копенгаген Латынь Euclidis opera Omnia.
Кампано, вдохновившись «Арифметикой» Джордано Неморарио (XII век), вводит аксиоматику книг по арифметике и, в частности, утверждает, что «не существует бесконечных нисходящих цепочек натуральных чисел». Издание Ратдольта содержит более 400 гравюр и может считаться настоящим шедевром, поскольку это одно из первых печатных изданий математического текста. Вскоре за ним последовало еще одно, опирающееся на основную традицию, — работы Бартоломео Дзамберти, а в 1572 году — издание Федерико Коммандино, самый точный из всех переводов на латынь, ставший основой для последующих важных переизданий, в частности издания Грегори. В 1533 году было напечатано знаменитое editio princeps[1 «Первое издание» (лат.). — Примеч. перев.] то есть официальное издание на греческом, подготовленное Симоном Тренером. Последнее издание, указанное в таблице, — editio pnnceps на латыни Йохана Людвига Гейберга, созданное между 1883 и 1888 годами. Оно содержит полное собрание сочинений Евклида в восьми томах и дополнение из работ Евклида и других мыслителей.
