Ньютон и Лейбниц поняли, что за всеми этими внешне разными процессами стоят одни и те же фундаментальные понятия, и связали их в единое целое. Кроме того, ученые разработали несколько общих алгоритмических методов для анализа и решения самых разных задач, среди них – вычисление степеней биномов. Ньютон разработал понятие флюксий – сходное с понятием производной – и показал, что, например, чтобы рассчитать площадь, очерченную кривой, достаточно посчитать флюенту (ньютоновский аналог современных функций), то есть, другими словами, найти интеграл.
Ньютон показал, как эти понятия – дифференциал и интеграл в терминологии Лейбница – могут использоваться для решения не только частных задач касательных, максимальных и минимальных значений или расчета площади, но и бесконечного количества других. В результате ему удалось превратить набор разрозненных операций, совершенных его предшественниками, в общий математический анализ.
Очень скоро изобретение продемонстрировало удивительную эффективность. Благодаря анализу бесконечно малых сложные расчеты площадей, которые принесли Архимеду славу гения, или обратные задачи, над решением которых бились лучшие математики середины XVII века, сегодня являются или, по крайней мере, должны являться упражнениями, доступными для ученика средней школы.
Хотя об этом часто забывают, слава Ньютона и его гениальность во многом определяются его математическими способностями и воображением: талант математика, сделавший возможным удивительные открытия ученого, например анализ бесконечно малых, в значительной степени отличает его от других ученых того времени. Вспомним, например, Гука, Галлея и Рена, собравшихся в кафе и пытающихся рассчитать орбиты планет, которые зависят от притяжения Солнца. Основным инструментом, которого им не хватало для успешных вычислений, был именно анализ бесконечно малых.
Ньютон построил цельную систему мира, что превратило его в самого успешного из всех ученых. Как подметил Лагранж, «систему мира можно открыть лишь один раз». И этим открытием Ньютон обязан именно своему великолепному владению математикой. Не стоит считать ученого исключительно физиком – он был скорее натурфилософом, а еще точнее – прикладным математиком. Напомним, что по этому поводу написал Д. Т. Уайтсайд, занимавшийся изданием математических манускриптов английского гения:
«Никогда не стоит забывать, что Ньютон представлял математику сундуком с инструментами истины, видел в ней внутреннюю красоту и мощь, независимые от внешних побуждений. […] В те времена не было в мире математики ученого ни более талантливого, ни более осведомленного; никто не был таким способным в алгебре, таким искусным в геометрии, достойным и знающим все тонкости анализа бесконечно малых».
DE ANALYSI
В конце июня 1669 года, за несколько дней, Ньютон написал «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» (De analysi), основываясь на исследованиях, которые он проводил с 1664 года. Содержание и идея этого трактата имели огромную ценность. Обнародовав его, Ньютон превратился в первооткрывателя анализа бесконечно малых, а сам «Анализ» стал великой хартией новой дисциплины. В первой части трактата Ньютон показал, каким образом, используя степенные ряды, вычисление площади можно расширить до огромного разнообразия функций. Таким образом, был сделан гигантский шаг вперед в решении проблемы расчета площади, ограниченной кривой, – вопроса, который поднимался еще греческими математиками.
Хотя могло сложиться впечатление, что Ньютон стремился найти решение для случая с определенным количеством кривых, в реальности он сделал гораздо больше: он смог обобщить процесс и вычислить некое абстрактное значение. Ньютон пишет: «Все задачи о длине кривых, об объеме и площади поверхности, а также о центре тяжести могут быть решены, когда будет вычислена площадь плоской поверхности, ограниченной кривой линией». Этими словами ученый хотел очертить границы первой части трактата, в которой был представлен общий метод, и отделить ее от второй, где был показан пример его применения. Мы можем согласиться, что результат не слишком впечатлял: Ньютон придавал огромное значение абстрактному характеру операции, хотя на этой начальной стадии, когда идея только вызревала в его голове, достаточно сложно было просто выразить ее и разъяснить. Также вероятно, что в этот период ему не хватало подходящих названий и обозначений.
Итак, требовалось решить абстрактную задачу: рассчитать функцию, зная ее производную. Кроме того, устанавливался обратный характер процесса к расчету вариации (производной) функции, и в итоге Ньютон давал алгоритмическую операцию для расчета этой вариации, хотя ее описание в «Анализе» минимально и отсутствуют ясные правила нахождения производной, как и у Лейбница. Сказанное подводит нас к тому, что работа Ньютона сделала анализ бесконечно малых реальностью.
ФЛЮЕНТЫ И ФЛЮКСИИ
Второй труд Ньютона, «О методе рядов и флюксий» (De methodis serierum etfluxionum), – самый значительный из посвященных анализу бесконечно малых, был написан через два года после «Анализа» (De analysi) но опубликован только в 1736 году, уже после смерти ученого.
В этой работе Ньютон представляет понятия флюенты и флюксии. Первая (флюента) – это переменная, меняющая свое значение с течением времени, вторая (флюксия) – производная этой переменной по времени:
«В дальнейшем я буду называть флюентами, или текущими величинами, величины, которые я рассматриваю как постепенно и неопределенно возрастающие; обозначать я их буду последними буквами алфавита u, у, х и z, чтобы их было возможно отличать от других величин, которые рассматриваются в уравнениях как известные и определенные и которые поэтому обозначаются первыми буквами алфавита а, b, с и т.д. Скорости, с которыми возрастают вследствие порождающего их движения отдельные флюенты (и которые я называю флюксиями, или просто скоростями или быстротами), я буду обозначать теми же буквами, но пунктированными, например v', х', у', z'».
Чтобы продемонстрировать потенциал своего анализа бесконечно малых, Ньютон применил его в работе «О методе» (De methodis) при решении почти всех задач о расчете площадей, касательных, кривых, объемов или расстояний, максимальных и минимальных величин, центров тяжести и рассмотрении других вопросов, которые занимали умы его предшественников в течение почти века. В работе «О методе» (De methodis) очевиден вклад Ньютона в открытие анализа: он четко определил понятия флюенты и флюксии как элементов теории, дал простые алгоритмы для расчета флюксии флюенты, а также привел примеры задач, которые новые понятия позволяют решить. Это разграничение абстрактных элементов теории и ее конкретного применения для решения колоссального количества задач позволяет признать за Ньютоном – и Лейбницем – открытие анализа.
МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ
Одно из многочисленных применений анализа бесконечно малых – это определение максимальных и минимальных значений функции, фундаментальных, к примеру, для процессов оптимизации в технике. Сравним кривую, описанную функцией у = х³ -3х.
Ясно, что у функции есть абсолютный минимум и максимум. Если проследить за ней слева, кривая стремится к бесконечности вниз; если справа, кривая идет к бесконечности вверх. Максимальное и минимальное значения, соответственно, +oo и -oo.
Но вместе с этими абсолютными значениями есть другие точки кривой, которые являются максимальными и минимальными точками, а именно:
(-1; 2) и (1; -2). Метод анализа бесконечно малых Ньютона позволяет легко определить такие точки, опираясь на понятие производной. Одним из свойств производной является то, что ее значение в заданной точке – то же, что и значение наклона касательной к функции в той же точке. Однако в точке максимума или минимума касательная является горизонтальной прямой и ее наклон равен нулю.
Следовательно, производная функции в указанной точке тоже будет равна нулю. В нашем примере f(x) = х³ -3х, производная f'(x) = 3х² -3. Соответственно, нас интересуют значения х, при которых выполняется равенство 3х² -3 = 0. Как и можно было ожидать, мы получим значения х = 1 и х = -1.
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЙ СТРАХ ПУБЛИКАЦИЙ
Читатель наверняка уже заметил некоторые детали, связанные с двумя упомянутыми работами Ньютона. Первую, «Анализ», ученый написал в 1669 году, но не публиковал ее целых 42 года, до 1711-го! А вторая, «О методе», была закончена в 1671 году, но увидела свет только в 1736-м, то есть через 65 лет после ее завершения и через девять лет после смерти Ньютона! Следует отметить, что в те годы термин «публиковать» имел несколько иное значение, нежели сейчас. Сегодня «публиковать» означает «доводить что-либо до сведения заинтересованных лиц посредством периодического издания или книги», но тогда таких каналов, как периодические издания, например журналы, практически не существовало, распространение они получили несколько десятилетий спустя. Для современников Ньютона «публиковать» означало выпустить рукопись, причем даже необязательно в печатной форме, для ограниченной группы заинтересованных людей. Несмотря на уговоры, Ньютон всячески уклонялся от того, чтобы обнародовать свои работы, и это можно считать проявлением одной из фобий ученого.
