Проиллюстрировать многие понятия из данной книги сложно, но, к счастью, эта проблема была решена с помощью Хьяотиан (Тима) Ин (Xiaotian (Tim) Yin) и Хьанфенга (Дэвида) Гу (Xianfeng (David) Gu) с кафедры вычислительной техники университета в Стони Брук, которым в свою очередь помогали Хуянг Ли (Huayong Li) и Вей Зенг (Wei Zeng). Также помощь в создании иллюстраций была оказана Эндрю Хэнсоном (Andrew Hanson) (основным визуализатором многообразия Калаби-Яу), Джоном Опреа (John Оргеа) и Ричардом Палейсом (Richard Palais).
Я хотел бы также поблагодарить своих друзей и родных, в том числе Вилла Бланшара (Will Blanchard), Джона ДеЛэнси (John DeLancey), Росса Итмана (Ross Eatman), Эвана Хадингама (Evan Hadingham), Харриса Маккартера (Harris McCarter) и Джона Тиббеттса (John Tibbetts), которые читали черновики книги и помогали своими советами и поддержкой. За бесценную помощь в решении организационных вопросов мы с моим соавтором хотели бы сказать спасибо Морин Армстронг (Maureen Armstrong), Лили Чану (Lily Chan), Хао Ху (Нао Хи) и Джене Бёрсан (Gena Bursan).
В тексте данной книги присутствуют ссылки на материалы из других изданий. Это, в частности, «Элегантная вселенная» Брайана Грина, «Окно Евклида» Леонарда Млодвинова и не переведенные пока на русский язык книги Роберта Оссермана «Poetry of the Universe» и «The Cosmic Landscape» Леонарда Зюскинда.
Наша книга никогда бы не увидела своего читателя, если бы не помощь Джона Брокмана (John Brockman), Катинки Мэтсон (Katinka Matson), Майкла Хэлей (Michael Healey), Макса Брокмана (Max Brockman), Рассела Вайнбергера (Russell Weinberger) и других сотрудников литературного агентства Brockman, Inc. Т. Дж. Келлехер (Т. J. Kelleher) из издательства «Basic Books» поверил в нас и в нашу книгу, и с помощью его коллеги Уитни Кассер (Whitney Casser) издание обрело респектабельный вид. Кей Мариэя (Kay Mariea), выпускающий редактор «Basic Books», наблюдала за всеми стадиями издания книги, а Патрисия Бойд (Patricia Boyd) выполнила литературную редактуру. Именно от нее я узнал, что «the same» ничем не отличается от «exactly the same».
Ну и напоследок я хотел бы особо поблагодарить членов моей семьи — Мелиссу, Джульетту и Паулину, а также моих родителей Лорейна и Марти, моего брата Фреда и сестру Сью. Все они вели себя так, как будто шестимерные многообразия Калаби-Яу — это самое восхитительное, что существует в нашем мире, и даже не подозревали, что эти многообразия находятся за его пределами.
Стив Надис, Кембридж, Массачусетс, март 2010Вступление
Формы грядущего
Примерно в 360 году до нашей эры Платон написал трактат «Тимей» — историю творения, изложенную в виде диалога между его учителем Сократом и тремя другими участниками: Тимеем, Критием, Гермократом. Тимей — это выдуманный персонаж, пришедший в Афины из южного итальянского города Локри, «знаток астрономии, сделавший ее своим главным делом, чтобы познать природу Вселенной»[1]. В уста Тимея Платон вкладывает свою собственную теорию, центральная роль в которой отведена геометрии.
Платон был очарован группой выпуклых фигур, особым классом многогранников, которые получили название Платоновых тел. Грани каждого такого тела состоят из одинаковых правильных многоугольников. К примеру, у тетраэдра четыре правильные треугольные грани. Гексаэдр, или куб, составлен из шести квадратов. Октаэдр состоит из восьми равносторонних треугольников, додекаэдр — из двенадцати пятиугольников, а икосаэдр — из двенадцати[2] треугольников.
Трехмерные фигуры, носящие название Платоновых тел, изобрел не Платон. Честно говоря, имя их изобретателя неизвестно. Принято считать, что современник Платона Теэтет Афинский доказал существование пяти и только пяти регулярных многогранников. Эвклид в своих «Началах» дал полное математическое описание этих форм.
Рис. 0.1. Пять Платоновых тел: тетраэдр, гексаэдр (или куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Приставка указывает на количество граней — четыре, шесть, восемь, двенадцать и двадцать соответственно. От всех прочих многогранников их отличает конгруэнтность всех граней, ребер и углов (между двумя ребрами)
Платоновы тела имеют несколько интересных свойств, некоторые из них эквивалентны способам их описания. В каждом таком многограннике в одной вершине сходится одно и то же количество ребер. И вокруг многогранника можно описать сферу, которой будет касаться каждая вершина, — в общем случае такое поведение не характерно для многогранников. Более того, углы, под которыми сходятся ребра в каждой из вершин, всегда одинаковы. Сумма количества вершин и количества граней равна количеству ребер плюс два.
Платон придавал этим телам метафизическое значение, именно поэтому с ними оказалось связано его имя. Более того, выпуклые правильные многогранники, как описывается в «Тимее», составляют суть космологии. В философии Платона существуют четыре основных элемента: земля, воздух, огонь и вода. Если бы мы могли детально исследовать каждый из этих элементов, мы бы заметили, что они состоят из миниатюрных копий Платоновых тел. Земля, таким образом, будет состоять из крошечных кубов, воздух — из октаэдров, огонь — из тетраэдров, а вода — из икосаэдров. «Остается еще одна, пятая конструкция, — писал Платон в «Тимее», имея в виду додекаэдр. — Его бог определил для Вселенной, прибегнув к нему в качестве образца».[3]
С сегодняшней точки зрения, опирающейся на более чем два тысячелетия развития науки, гипотеза Платона выглядят сомнительно. В настоящее время еще не достигнуто соглашение, из чего же состоит Вселенная — из лептонов и кварков, или из гипотетических элементарных частиц преонов, или даже из еще более гипотетических струн. Тем не менее мы знаем, что это не просто земля, воздух, вода и огонь на поверхности гигантского додекаэдра. Перестали мы верить и в то, что свойства элементов строго описываются формами Платоновых тел.
С другой стороны, Платон никогда и не утверждал, что его гипотеза однозначно верна. Он считал «Тимей» «правдоподобным изложением», лучшим, что можно было предложить в то время. При этом предполагалось, что потомки могут усовершенствовать картину и даже коренным образом ее преобразовать. Как утверждает в своих рассуждениях Тимей, «…мы должны радоваться, если наше рассуждение окажется не менее правдоподобным, чем любое другое, и притом помнить, что и я, рассуждающий, и вы, мои судьи, всего лишь люди, а потому нам приходится довольствоваться в таких вопросах правдоподобным мифом, не требуя большего».[4]
Разумеется, Платон многое понимал неправильно, но если рассмотреть его тезисы в более общем смысле, мы обнаружим, что истина в них тоже присутствует. Выдающийся философ демонстрирует, вероятно, самую большую мудрость, понимая, что его гипотеза может оказаться неверной, но при этом стать основой для другой, верной теории. К примеру, его многогранники являются удивительно симметричными объектами: икосаэдр и додекаэдр можно повернуть шестьюдесятью способами (и это число не случайно представляет собой удвоенное количество ребер каждого тела), сохранив их вид неизменным. Создавая космологию на этих формах, Платон совершенно верно предположил, что в основе любого правдоподобного описания природы должна лежать симметрия. И если когда-нибудь появится настоящая теория Вселенной — в которой унифицированы все силы, а все компоненты подчиняются небольшому количеству правил, — нам потребуется вскрыть лежащую в основе симметрию, упрощающий принцип, на котором строится все остальное.
Вряд ли стоит упоминать, что симметрия твердых тел является прямым следствием их точной формы, или геометрии. И именно здесь Платон сделал свой второй крупный вклад: он не только понял, что математика является ключом к познанию Вселенной, но и продемонстрировал подход, который называется геометризацией физики, — аналогичный прорыв сделал Эйнштейн. В порыве предвидения Платон предположил, что элементы природы, их качества и действующие между ними силы могут быть результатом воздействия скрытой от нас колоссальной геометрической структуры. Видимый нами мир вполне может оказаться всего лишь отражением лежащей в его основе геометрии, недоступной для нашего восприятия. Это знание мне крайне дорого, так как оно близко связано с математическим доказательством, которое принесло мне известность. Это может показаться надуманным, но существует еще один способ геометрического представления, имеющий отношение к указанной идее. Впрочем, в этом вы убедитесь в процессе чтения книги.
Первая глава
Вселенная где-то рядом
Изобретение телескопа и последующее его усовершенствование на протяжении многих лет помогло подтвердить факт, ставший сегодня азбучной истиной: есть многое во Вселенной, что недоступно нашим наблюдениям. Действительно, согласно имеющимся на сегодняшний день данным, почти три четверти материального мира существует в загадочной, невидимой форме, называемой темной энергией. Большая часть из оставшегося, за исключением только четырех процентов, приходящихся на обычную материю (и в том числе на нас с вами), носит название темной материи. Оправдывая свое название, эта материя может считаться «темной» во всех смыслах: ее трудно увидеть и не менее трудно понять.
