Есть данные, что Архимед общался и даже был дружен с Кононом Самосским (280–220 до н. э.), служившим придворным астрономом у правителя Птолемея III. Считается, что именно под его влиянием Архимед начал серьезно заниматься математикой.
После учебы в Александрии Архимед вновь вернулся в Сиракузы, где унаследовал должность своего отца.
Основные научные работы Архимеда касались всевозможных практических применений математики, физики, гидростатики и механики. В частности, в сочинении «Параболы квадратуры» он обосновал метод расчета площади параболического сегмента. Удивительно, но сделано это было за 2000 лет до открытия интегрального исчисления.
В своем труде «Об измерении круга» Архимед впервые предложил математический способ вычисления числа «пи» (отношения длины окружности к длине ее диаметра) и доказал, что оно одинаково для любого круга.
Для этого Архимед вписывал в окружность и описывал около нее правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, он рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. На примере правильного 96-угольника Архимеду удалось получить следующие значения числа «пи»:
Как видим, согласно Архимеду, значение числа «пи» находится в диапазоне от 3,1408 до 3,1428. В настоящее время вычислено огромное количество знаков после запятой, и число «пи» признано равным 3,14159265…
А еще мы до сих пор пользуемся придуманной Архимедом системой наименования целых чисел.
Важнейшим достижением Архимеда являются теоретические изыскания и практические работы в области механики. Фактически Архимед является создателем механики как науки, изучающей законы движения, покоя и равновесия тел. В течение многих веков фундаментом механики была теория рычага, изложенная Архимедом в сочинении «О равновесии плоских фигур». В основе этой теории лежат следующие постулаты:
...
«Равные тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же длинах не уравновешиваются, но перевешивают тяжести на большей длине.
Если при равновесии тяжестей на каких-нибудь длинах к одной из тяжестей будет что-нибудь прибавлено, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, к которой было прибавлено.
Точно так же, если от одной из тяжестей будет отнято что-нибудь, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, от которой не было отнято».
Даже по формулировкам видно, что эти постулаты были проверены на опыте, а не придуманы исключительно «за письменным столом». Основываясь на них, Архимед сделал следующие утверждения:
...
«Соизмеримые величины уравновешиваются на длинах, которые будут обратно пропорциональны тяжестям.
Если величины будут несоизмеримы, то они точно так же уравновесятся на длинах, которые обратно пропорциональны этим величинам».
В этих словах содержится первая точная формулировка закона рычага. Кроме того, в книге «О равновесии плоских фигур» содержатся примеры определения центров тяжести треугольника, параллелограмма, трапеции и других фигур. Кстати сказать, Архимед описывал центр тяжести следующим образом:
...
«Центром тяжести каждого тела является некоторая расположенная внутри его точка – такая, что если за нее мысленно подвесить тело, то оно остается в покое и сохраняет первоначальное положение».
Учение о гидростатике Архимед развил в своем труде «О плавающих телах», в котором было сказано:
...
«Предположим, что жидкость имеет такую природу, что из ее частиц, расположенных на одинаковом уровне и прилежащих друг к другу, менее сдавленные выталкиваются более сдавленными, и что каждая из ее частиц сдавливается жидкостью, находящейся над ней по отвесу, если только жидкость не заключена в каком-нибудь сосуде и не сдавливается еще чем-нибудь другим».
Основываясь на этом, Архимед математически доказал, что:
...
«Тела, равнотяжелые с жидкостью, будучи опущены в эту жидкость, погружаются так, что никакая их часть не выступает над поверхностью жидкости, и не будут двигаться вниз.
Тело, более легкое, чем жидкость, будучи опущено в эту жидкость, не погружается целиком, но некоторая часть его остается над поверхностью жидкости.
Тело, более легкое, чем жидкость, будучи опущено в эту жидкость, погружается настолько, чтобы объем жидкости, соответствующий погруженной [части тела], имел вес, равный весу всего тела.
Тела, более легкие, чем жидкость, опущенные в эту жидкость насильственно, будут выталкиваться вверх с силой, равной тому весу, на который жидкость, имеющая равный объем с телом, будет тяжелее этого тела.
Тела, более тяжелые, чем жидкость, опущенные в эту жидкость, будут погружаться, пока не дойдут до самого низа, и в жидкости станут легче на величину веса жидкости в объеме, равном объему погруженного тела».
Последнее утверждение фактически и содержит общеизвестный закон Архимеда, важный закон гидростатики, согласно которому каждое тело, погруженное в жидкость, теряет столько своего веса, сколько весит вытесненная им жидкость (на тело, погруженное в жидкость, действует сила, равная весу вытесненной им жидкости).
Отметим, что знаменитое восклицание «Эврика!» («Я нашел!») относится к первому практическому применению этого самого закона Архимеда.
Согласно легенде, однажды к Архимеду обратился недоверчивый правитель Сиракуз, подозревавший своего ювелира в обмане. Он попросил проверить, соответствует ли вес изготовленной для него золотой короны весу отпущенного им на нее золота.
Рассказ об этом приведен у древнеримского автора второй половины I века до н. э. Марка Витрувия Поллиона в его трактате «Десять книг об архитектуре»:
...
«Исходя из своего открытия, он, говорят, сделал два слитка, каждый такого же веса, какого была корона, – один из золота, другой из серебра. Сделав это, он наполнил водой сосуд до самых краев и опустил в него серебряный слиток, и вот, какой объем слитка был погружен в сосуд, соответственное ему количество вытекло воды. Вынув слиток, он долил в сосуд такое количество воды, на какое количество стало там ее меньше, отмеряя вливаемую воду секстарием [1] , чтобы, как и прежде, сосуд был наполнен водой до самых краев. Так отсюда он нашел, какой вес серебра соответствует какому определенному количеству воды.
Произведя такое исследование, он после этого таким же образом опустил золотой слиток в полный сосуд. Потом, вынув его и добавив той же мерой вылившееся количество воды, нашел на основании меньшего количества секстариев воды, насколько меньший объем занимает слиток золота по сравнению с одинаково с ним весящим слитком серебра. После этого, наполнив сосуд и опустив в ту же воду корону, нашел, что при погружении короны вытекло больше воды, чем при погружении золотой массы одинакового с ней веса; и таким образом на основании того заключения, что короной вытеснялось большее количество воды, чем золотым слитком, он вскрыл примесь в золоте серебра и обнаружил явное воровство поставщика».
Итак, Архимед сделал два слитка: один из золота, другой из серебра, и каждый – такого же веса, что и корона. Затем он поочередно положил их в сосуд с водой, отметив, насколько поднялся ее уровень. Опустив в сосуд корону, Архимед установил, что ее объем превышает объем золотого слитка, а это значило, что корона изготовлена не из чистого золота, а из сплава золота с серебром.
Я. Г. Дорфман в своей «Всемирной истории физики» отмечает:
...
«Это выдающееся открытие Архимеда знаменует собой первое в истории применение физического измерительного метода к контролю и анализу химического состава без нарушения целостности изделия. Огромное практическое значение этого открытия в эпоху, когда еще никаких других методов подобного рода не было, естественно, привлекло к себе всеобщее внимание и стало предметом дальнейших исследований и практических использований на протяжении многих последующих веков».
Но Архимед не ограничился описанным выше достаточно примитивным экспериментом, а перешел к более точному количественному измерению. По словам жившего в первой половине XII века среднеазиатского физика, астронома и математика Ал-Хазини, ссылавшегося на не дошедший до нас трактат грека Менелая Александрийского, Архимед «изобрел механическое приспособление, которое, благодаря своему тонкому устройству, позволило ему определить, сколько золота и сколько серебра содержится в короне, не нарушая ее формы».
Ал-Хазини привел схему этих «весов Архимеда». На них имелся подвижный груз, с помощью которого можно было, сравнивая веса упомянутых слитков, определять численное отношение удельных весов золота и серебра. А это, в свою очередь, позволяло установить относительное количество золота и серебра в короне.
