x1 9 z1
7 5 z2
x3 1 z3
Числа, находящиеся в одной строке с числом 9 — это 2 и 4, так как иначе сумма в этой строке была бы больше пятнадцати. Далее, число 2 должно быть в том же столбце, что и число 7, так как если бы там стояло 4, то третье число в этом столбце было бы тоже 4. Используя это наблюдение, мы можем определить место каждого из двух оставшихся чисел 6 и 8, в результате получаем магический квадрат, изображенный на рис. 7.
Для больших значений n можно построить великое множество магических квадратов. В XVI и XVII веках, и даже позже, составление магических квадратов столь же процветало, как и составление кроссвордов в наши дни. Бенджамин Франклин[2] был страстным любителем магических квадратов. Он позже признавался, что, будучи служащим Законодательного Собрания штата Пенсильвания, он скрашивал скучные часы на службе составлением причудливых магических квадратов и даже магических кругов, в которых числа «стоят на переплетающихся окружностях, причем сумма чисел на каждой из окружностей одна и та же. Следующий эпизод взят нами из Собрания сочинений Бенджамина Франклина[3].
О магических квадратах Б. Франклина стало известно, когда один из его старых друзей, Логан, показал ему несколько книг о магических квадратах, заметив при этом, что не верит в то, что кто-либо из англичан мог бы сделать что-либо замечательное в этой области.
«Логан показал мне в одной из этих книг несколько необычных и довольно любопытных случаев, но ни один из них не мог сравниться с теми, которые, как я помню, были сделаны мною. Он попросил меня показать их. И в следующее свое посещение я принес ему квадрат 8 × 8, который я нашел среди своих старых бумаг и который я предлагаю вам с описанием его свойств» (рис. 10).
Рис. 10.
Б. Франклин упоминает только некоторые свойства своего квадрата. Мы предлагаем читателю найти и другие его свойства. Например, очевидно, что s равняется 260, а сумма чисел в каждой половине любой строки и в каждой половине любого столбца равняется 130, что составляет половину от 260. Четыре числа, стоящие в углах, в сумме с четырьмя числами, стоящими в центре квадрата, дают 260; сумма чисел по наклонному ряду, идущему от числа 16 вправо-вверх до числа 10, а далее по наклонному ряду, идущему, от числа 23 вправо-вниз до числа 17 равна 260. То же самое верно для каждого ряда из восьми чисел, параллельного описанному выше.
«Потом Логан показал мне старую книгу по арифметике, изданную в формате кварто[4] и написанную, я думаю, неким Штифелем (Михаил Штифель, «Arithmetica integra», Нюренберг, 1544). В этой книге был помещен квадрат 16 × 16, в который, по его мнению, был вложен колоссальный труд. Но если я не ошибаюсь, он имел лишь обычное свойство, т. е. обладал постоянной суммой, равной 2056 в каждом ряду: горизонтальном, вертикальном и диагональном.
Не желая уступить Штифелю даже в размерах квадрата, я, вернувшись домой, в тот же вечер составил квадрат 16 × 16, который помимо всех свойств моего квадрата 8 × 8, т. е. наличия постоянной суммы 2056 во всех аналогичных рядах и диагоналях, имел еще одно дополнительное свойство. Если вырезать из листа бумаги квадрат 4 × 4 и уложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 квадратиков большего квадрата попали в эту прорезь, то сумма 16 чисел, появившихся в этой прорези, куда бы мы ее ни положили, на большом квадрате будет одна и та же, и равна тому же самому числу 2056».
Магический квадрат Б. Франклина перед вами (рис. 11) и вы можете сами проверить его замечательные свойства.
Рис. 11.
Б. Франклин по праву гордился своим творением, что видно из продолжения его письма: «На следующее утро я послал этот квадрат нашему другу, который через несколько дней вернул его в ответном письме со следующими словами: „Я возвращаю тебе твой удивительный, а может быть, самый изумительный магический квадрат, в котором…", но этот комплимент слишком экстравагантен, и поэтому ради него, а также ради самого себя, мне не следует его повторять. К тому же это и необязательно, так как я не сомневаюсь, что вы охотно согласитесь, что этот квадрат 16 × 16 является самым магически-магическим из всех магических квадратов, составленных когда-либо каким-либо магом». Более подробные сведения о построении магических квадратов можно найти в книгах: Е. Я. Гуревич. Тайна древнего талисмана. — М.: Наука, 1969 и И. М. Постников. Магические квадраты. — М.: Наука, 1964.
Система задач 1.5.
1. Мог ли Дюрер использовать вместо своего квадрата, изображенного на рис. 9, какие-либо другие квадраты, в которых тот же год фигурировал таким же образом?
2. Дюрер прожил до 1528 г. Смог ли бы он датировать какую-нибудь из своих более поздних картин таким же способом?
Рис. 12. Репродукция магического круга Франклина. Оригинал, выполненный в цвете, был продан частному коллекционеру на аукционе в Нью-Йорке.
3. Изучите некоторые свойства магического круга Б. Франклина (рис. 12).
§ 1. Простые и составные числа
Должно быть, одним из первых свойств чисел, открытых человеком, было то, что некоторые из них могут быть разложены на два или более множителя, например,
6 = 2 • 3, 9 = 3 • 3, 30 = 2 • 15 = 3 • 10,
в то время как другие, например,
3, 7, 13, 37,
не могут быть разложены на множители подобным образом. Давайте вспомним, что вообще, когда число
c = a b (2.1.1)
является произведением двух чисел a и b, то мы называем а и b множителями или делителями числа с. Каждое число имеет тривиальное разложение на множители
с = 1 • с = с • 1. (2.1.2)
Соответственно мы называем числа 1 и с тривиальными делителями числа с.
Любое число с > 1, у которого существует нетривиальное разложение на множители, называется составным. Если число с имеет только тривиальное разложение на множители (2.1.2), то оно называется простым. Среди первых 100 чисел простыми являются следующие 25 чисел:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Все остальные числа, кроме 1, являются составными. Мы можем сформулировать следующее утверждение:
Теорема 2.1.1. Любое целое число с> 1 является, либо простым, либо имеет простой множитель.
Доказательство. Если с не является простым, числом, то у него есть наименьший нетривиальный множитель р. Тогда р — простое число, так как если бы р — было составным, то число с имело бы ещё меньший множитель.
Теперь мы подошли к нашей первой важной задаче в теории чисел: как определить, является ли произвольное число простым или нет, и в случае, если оно составное, то как найти какой-либо его нетривиальный делитель?
Первое, что может прийти в голову, — это попытаться разделить данное число с на все числа, меньшие его. Но надо признать, что этот способ мало удовлетворителен. Согласно теореме 2.1.1 достаточно делить на все простые числа, меньшие √с. Но мы можем значительно упростить задачу, заметив, что при разложении на множители (2.1.1) оба множителя а и b не могут быть больше, чем c, так как в противном случае мы получили бы
ab > √с • √с,
что невозможно. Таким образом, чтобы узнать, имеет ли число с делитель, достаточно проверить, делится ли число с на простые числа, не превосходящие — √с.
Пример 1. Если с = 91, то √с = 9….; проверив простые числа 2, 3, 5, 7, находим, что 91 =7 13.
Пример 2. Если с =1973, то находим, что √с = 44…. Так как ни одно из простых чисел до 43 не делит с, то это число является простым.
Очевидно, что для больших чисел этот метод может быть очень трудоемким. Однако здесь, как и при многих других вычислениях в теории чисел, можно использовать современные методы. Довольно просто запрограммировать на ЭВМ деление данного числа с на все целые числа до √с и печатание тех из них, которые не имеют остатка, т. е. тех, которые делят с.
Другим очень простым методом является применение таблиц простых чисел, т. е. использование простых чисел уже найденных другими. За последние 200 лет было составлено и издано много таблиц простых чисел. Наиболее обширной из них является таблица Д. X. Лемера, содержащая все простые числа до 10 000 000. Наша таблица 1 содержит все простые числа до 1000.
