Также хорошо известно, что не существует такой вещи, как универсальная антивирусная программа. Причина в том, что функция F, результат которой – все программы, не содержащие вирус, также является невычислимой. Тот же тип рассуждений показывает, почему для цифровых машин не существует ни универсальных систем кодирования, ни алгоритмических процедур для установления того, являются ли динамические системы хаотическими или нет.
То же самое касается живого мозга: он генерирует поведение, которое можно полностью описать только с помощью невычислимых функций. Поскольку машина Тьюринга не справляется с такими функциями, нет возможности точно симулировать их на цифровом компьютере.
Представленные выше примеры – лишь небольшая выборка, отражающая распространенность невычислимых функций в математическом описании природных явлений. Все эти примеры являются следствиями или вариантами знаменитой проблемы остановки, одна из версий которой известна как десятая проблема Давида Гильберта. Проблема остановки касается существования общего алгоритма, позволяющего предсказать, зависнет ли компьютерная программа в какой-то момент или будет продолжать работать. Алан Тьюринг показал, что такого алгоритма не существует. С тех пор проблема остановки Гильберта стала типичной моделью невычислимой функции.
Проблема остановки означает, что мы не можем заранее предсказать, какие функции являются вычислимыми, а какие нет. По этой же причине, среди прочих, гипотеза Чёрча – Тьюринга остается лишь гипотезой: ее никогда не удастся доказать или опровергнуть никакой машине Тьюринга. На самом деле почти никакие функции не могут быть рассчитаны машиной Тьюринга, включая большинство функций, которые пригодны для описания мира природы и которые, по нашему с Рональдом мнению, производятся высокоразвитым мозгом животных.
Уже осознавая ограничения своей вычислительной машины, в опубликованной в 1939 году диссертации сам Алан Тьюринг попытался преодолеть их, придумав то, что он называл вычислениями с оракулом. Смысл машины с оракулом заключался в использовании инструмента из реального мира для решения проблем, которые «не могли быть решены механически» машиной Тьюринга. После ответа оракула машина Тьюринга могла завершить вычисления. Тьюринг показал, что некоторые машины с оракулом мощнее машины Тьюринга. Как он заключил, «мы не можем продвинуться дальше в природу этого оракула, кроме как сказать, что он не может быть машиной».
Заявление Тьюринга удивительно. В самом начале эры цифровой информации один из ее основателей уже понимал, что возможности компьютеров ограниченны. Наверное, еще больше шокирует осознание того, что в то время Тьюринг уже убедился в значительном превосходстве вычислительной способности человеческого мозга над способностью созданного им вычислительного инструмента. Как он отмечал, «класс проблем, которые может решить машина, весьма специфичен. Это те проблемы, которые могут быть решены конторским служащим, действующим по заданным правилам и без понимания» и, как выясняется, без ограничения в количестве бумаги. Придя к этому выводу, Тьюринг непреднамеренно положил начало развитию направления гиперкомпьютерных (сверхтьюринговых) вычислений.
Однако я должен подчеркнуть, что сам Тьюринг никогда не предполагал, что нечто вроде оракула может быть построено; он многократно настаивал на том, что в каждом элементе математического мышления присутствует интуиция (человеческое свойство из разряда невычислимых функций). Говоря это, он фактически подтверждал вывод Гёделя, отразившийся в его теоремах. По мнению Гёделя, при наличии формализованного математического доказательства интуиция проявляется на тех этапах, где математик видит справедливость ранее недоказанного утверждения. Однако Тьюринг не делал никаких предположений по поводу того, что мозг делает физически в момент принятия интуитивного решения.
Через много десятилетий после появления идеи машины с оракулом Грегори Хайтин, работавший с бразильскими коллегами Ньютоном Карнейро Аффонсо да Коста и Франсиско Антонио Дориа, выдвинул сходную идею о том, что «аналоговые, а не цифровые устройства могут решать некоторые нерешаемые арифметические выражения». Это возможно по той причине, что аналоговые вычислительные устройства осуществляют вычисления физическим образом, что означает, что они производят вычисления, просто подчиняясь законам физики, а не следуя заранее заданному алгоритму в рамках формальной системы. Иными словами, в аналоговых компьютерах не существует разделения между аппаратной и программной частью, поскольку конфигурация первой отвечает за осуществление вычислений и может модифицировать саму себя. Это именно то, что мы ранее назвали интегральной системой.
По мнению Хайтина, да Косты и Дориа, аналоговые устройства могут служить основой гиперкомпьютеров, или «устройств из реального мира, справляющихся с вопросами, которые не могут быть решены машиной Тьюринга». Эти авторы также предполагают, что возможность создания прототипа такого гиперкомпьютера путем сопряжения машины Тьюринга с аналоговым устройством зависит лишь от уровня развития соответствующей технологии. Это означает, что вся задача может сводиться к инженерной проблеме. Теперь вы понимаете, зачем мы в лаборатории активно проверяем эту гипотезу, создавая рекурсивное аналого-цифровое вычислительное устройство, нейромагнитный реактор, вдохновленные основными постулатами моей релятивистской теории мозга, – чтобы проверить некоторые из этих идей.
В этом теоретическом контексте не приходится удивляться тому, что такие интегральные системы, как мозг, действительно преодолевают вычислительные ограничения машины Тьюринга. На самом деле само существование мозга у животных можно использовать для опровержения «физической версии» гипотезы Чёрча – Тьюринга. Если рассматривать в таком аспекте человеческий мозг, его можно квалифицировать как гиперкомпьютер. Аналогичным образом, связывая мозг с машиной через интерфейс «мозг-машина», можно создать другой тип гиперкомпьютера, мозгосеть, в которой множество мозгов будут связаны между собой (см. главу 7).
Есть и другие математические проблемы, влияющие на вычислимость биологических функций. Например, в начале XX века Анри Пуанкаре показал, что сложные динамические системы (сущности, индивидуальные компоненты которых сами являются сложными взаимодействующими элементами) нельзя описать с помощью интегрируемых функций, т. е. производных функций, которые можно интегрировать, чтобы представлять себе связь между параметрами. Такие динамические системы характеризуются кинетической энергией составляющих их частиц, к которой нужно добавить потенциальную энергию взаимодействия между этими частицами (элементами). На самом деле именно этот второй член является причиной нелинейности и неинтегрируемости подобных функций. Пуанкаре не только продемонстрировал неинтегрируемость функций, но и предложил ее объяснение – резонанс (взаимодействие) между степенями свободы (числом частиц).
Это означает, что богатство динамического поведения сложных систем нельзя отразить разрешаемым набором простых дифференциальных уравнений, поскольку их взаимодействия в большинстве случаев приводят к появлению бесконечных членов. Бесконечные члены – постоянный кошмар математиков, поскольку они вызывают массу проблем при попытках аналитического решения уравнений.
Как мы видели ранее, мозг животного сформирован сложными, отдельными самоадаптирующимися (пластичными) нейронами, замысловатые связи и функциональная интеграция которых с миллиардами других клеток создают множество дополнительных уровней сложности нервной системы в целом. Более того, поведение каждого нейрона в конкретной сети нейронов на разных уровнях наблюдения нельзя понять в отрыве от общей картины активности мозга. В таком контексте даже самый примитивный мозг животного соответствует критериям Пуанкаре и должен рассматриваться в качестве сложной динамической системы с резонансом между разными уровнями организации или составляющими биологическими элементами (нейронами, глией и т. д.). Поэтому можно сказать, что вероятность нахождения интегрируемого математического описания активности мозга в целом весьма невысока.
