уравнения движения. Для волн и частиц они совершенно различны: решая одни, мы вычисляем траекторию частицы, решая другие, находим форму и скорость фронта волны. Но мы также знаем, что в оптике можно нарисовать траекторию светового луча, зная движение фронта его волны. Гамильтон доказал, что в механике можно сделать нечто противоположное: заменить траекторию движения частицы распространением фронта некоторой волны. Или, более точно, уравнения движения механики можно записать в таком виде, что они полностью совпадут с уравнениями геометрической оптики, которые описывают распространение луча света без учета его волновых свойств. Тем самым Гамильтон доказал
оптико-механическую аналогию: движение частицы по траектории можно представить как распространение луча света без учета его волновых свойств.
В свое время эти исследования Гамильтона (как и многие другие, например, исчисление гиперкомплексных чисел — кватернионов) не были по достоинству оценены современниками. Лишь почти столетие спустя эти работы нашли достойное продолжение в трудах Шрёдингера и Дирака.
ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЕДИНГЕРА
Эрвин Шрёдингер (1887—1961) в 1911 г. окончил Венский университет, еще хранивший традиции Доплера, Физо, Больцмана и весь дух классических времен физики: основательность при изучении явлений и неторопливый к ним интерес. В 1925 г. он был уже немолодым профессором Цюрихского университета, сохранившим, однако, юношеское стремление понять самое главное в тогдашней физике: «Как устроен атом? И как в нем движутся электроны?»
В конце 1925 г. в одной из статей Эйнштейна Шрёдингер прочел несколько слов похвалы в адрес де Бройля и его гипотезы. Этих немногих сведений ему оказалось достаточно: он поверил в гипотезу о волнах материи и развил ее до логического конца (что всегда трудно, и не только в науке). Ход его рассуждений легко понять, по крайней мере теперь, более полувека спустя. Вначале он вспомнил оптико-механическую аналогию Гамильтона. Он знал, что она доказана лишь в пределе геометрической оптики — тогда, когда можно пренебречь волновыми свойствами света. Шрёдингер пошел дальше и предположил: оптико-механическая аналогия остается справедливой также и в случае волновой оптики. Это означает, что всегда любое движение частиц можно уподобить распространению волн.
Как и всякое глубокое открытие, гипотеза Шрёдингера ниоткуда логически не следовала. Но, как всякое истинное
открытие, логические следствия она имела. Прежде всего, если Шрёдингер прав, то движение частиц должно обнаруживать волновые свойства в тех областях пространства, размеры которых сравнимы с длиной волны этих частиц. В большой мере это относится и к движению электрона в атоме: сравнив формулы де Бройля λ=h/mυ и Бора mυr = h/2π, легко усмотреть, что радиус атома r = λ/2π примерно в шесть раз меньше, чем длина волны электрона λ. Если эту длину отождествить с размером электрона
в атоме, то становится сразу очевидным, что представлять его в атоме частицей невозможно, ибо тогда придется допустить, что атом построен из таких частиц, которые больше его самого. Отсюда сразу, и немного неожиданно, следует уже известный нам из предыдущей главы постулат Гейзенберга: не существует понятия траектории электрона в атоме.
Действительно, не может нечто большее двигаться внутри чего-то меньшего, и притом по траектории. Но тогда не существует и проблемы устойчивости атома, так как электродинамика запрещает электрону двигаться в атоме лишь по траектории и не отвечает за явления, которые происходят при других типах движений. Все это означает, что в атоме электроны существуют не в виде частиц, а в виде некоторых волн, смысл которых вначале был не очень понятен и Шрёдингеру. Но ему было ясно: какова бы ни была природа этих электронных волн, их движение должно подчиняться волновому уравнению. Шрёдингер нашел это уравнение. Вот оно:
Для тех, кто видит его впервые, оно абсолютно непонятно и может возбудить лишь любопытство или чувство инстинктивного протеста, причем последнее — без серьезных оснований.
В самом деле, рисунок на с. 130 столь же непонятен, как и уравнение Шрёдингера, однако мы принимаем его без внутреннего сопротивления. Мы совсем успокоимся, узнав, что перед нами герб города Парижа. Только самые дотошные станут допытываться, почему он выглядит именно так, а не иначе. Как и в уравнении Шрёдингера, в этом гербе каждая
черта и каждый символ исполнены смысла. Вверху — королевские лилии, которые появились в геральдических знаках Франции уже в конце V века — после победы короля Хлодвига над гуннами у берегов реки Ли. (По преданию, воины Хлодвига, возвращаясь домой, украсили свои шлемы и щиты цветами белых лилий «ли-ли», что в переводе с галльского означает «белый-белый».) Внизу герба — корабль, похожий очертаниями на Ситэ — остров посреди Сены, где в древности обитало племя паризиев, по имени которых назван Париж. А форма герба напоминает парус — в память об основном занятии древних обитателей Парижа. Как видите, понять символику герба несложно, хотя по-настоящему близка и естественна она только парижанам.
Подойдем к уравнению Шрёдингера точно так же. Примем его вначале просто как символ квантовой механики, как некий герб квантовой страны, по которой мы теперь путешествуем, и постараемся понять, почему он именно таков. Некоторые символы в этом гербе нам уже понятны: т — это масса электрона, ℏ — постоянная Планка h, деленная на 2π, Е — полная энергия электрона в атоме, V(x) — его потенциальная энергия, х — расстояние от ядра до электрона. Несколько сложнее понять символ дифференцирования d2/dx2, но с этим пока ничего нельзя поделать, вначале придется просто запомнить, что это символ второй производной от функции ψ, из-за которого уравнение Шрёдингера — не простое, а дифференциальное.
Самое сложное — понять, что собой представляет ψ-функция (пси-функция): достаточно сказать, что вначале даже сам Шрёдингер истолковал ее неверно. Мы также поймем это несколько позднее, а пока что просто поверим в то, что ψ-функция «как-то» представляет движение электрона в атоме. По-другому, чем матрицы Гейзенберга xnk и pnk, но все-таки представляет, и притом — хорошо. Настолько хорошо, что с ее помощью все задачи квантовой механики можно решать значительно проще и быстрее, чем с помощью матриц Гейзенберга. Физики довольно быстро оценили преимущества волновой механики: ее универсальность, изящество и простоту — и с тех пор почти забросили механику матричную.
Руджер Иосип Бошкович (1711 —1787) сейчас известен только узкому кругу специалистов, но в начале прошлого века он был знаменит, а
