Столь же нерешительно, как математики, отнеслись к достижениям Кантора и философы; первое подробное сочувственное изложение, где содержатся также ссылки на предшествующие неосновательные оценки Кантора со стороны философов (Баллауф, Вундт[17], Лаас, Г. Коген), принадлежит Б. Л. Керри[18]. Завершается оно характерным суждением, согласно которому философия, «прежде рассматривавшая учение о непрерывном в его отношении к эвентуально составляющему его дискретному как свое самое неотъемлемое достояние», по-видимому, в исследованиях о многообразиях «породила из себя еще одну новую дисциплину», с которой материнская наука должна поддерживать знакомство, не ущемляя, однако, независимого существования. В это же время математик П. Таннери, сам активно занимавшийся идеями Кантора, издает предназначенное для философов и ориентированное в сторону философских вопросов введение в круг идей теории множеств[19], по-видимому, не замеченное Кантором.
Но, конечно, сильнее всего задело Кантора отрицательное отношение не столько философов, сколько подавляющего большинства его коллег по специальности, и в особенности позиция Кронеккера. В этом, безусловно, главная причина кризиса 1884 г. Примерно до 1880 г. внешние отношения между Кронеккером и Кантором, кажется, оставались хорошими, несмотря на отрицательную с самого начала позицию, занятую Кронеккером по отношению к теоретико-множественным интересам своего бывшего ученика. Так обстояло дело, например, еще при посещении Кронеккера Кантором осенью 1879 г. Но уже написанная в 1882 г. часть 5 работы [13] содержит два примечательных места, где он высказывается против всевластия натуральных чисел и за нестесняемую свободу математического творчества; оба они недвусмысленно направлены против Кронеккера. Вся сила его неприязни против Кронеккера, влияние которого выходило далеко за пределы Германии, видна из его писем Миттаг-Лефлеру за 1884 год (в числе 52!), где это чувство проявляется с не сдерживаемой остротой. К его гневу примешивается также опасение, что предназначенная к опубликованию в Acta Mathematica (но в действительности не появившаяся там) статья Кронеккера может не только нанести ему дальнейший вред в глазах публики, но и отдалить его от верного друга, так как это изложение научных взглядов Кронеккера должно было, в частности, показать, «что результаты современной теории функций и теории множеств лишены всякого реального значения». В самом деле, Кронеккер смог оказать тогда враждебное Кантору влияние на Эрмита и, кажется, также на Вейерштрасса, занимавших в то время, наряду с ним, ведущее место в математическом мире. Впрочем, это длилось недолго; более того, оба они − вопреки относящимся к Эрмиту высказываниям Пуанкаре на римском Международном математическом конгрессе 1908 г. − вскоре стали искренними друзьями Кантора и поклонниками его трудов[20]. Но весной 1884 г. у Кантора произошел психический кризис; конечно, нельзя считать единственной причиной его описанный выше конфликт, безусловно, обостривший и, может быть, непосредственно вызвавший его. Это психическое заболевание, проявления которого время от времени повторялись до его смерти, неоднократно вынуждало его к пребыванию в клинике. Ближайшим последствием кризиса была депрессия, принизившая значение его работ в его собственных глазах, усилившая у него чувство вины за возникшие раздоры и побудившая его просить у Кронеккера извинения. Этот акт раскаяния, исполненный письменно и устно, привел, правда, к внешне удовлетворительным отношениям между обоими учеными, но ничего не изменил в диаметральной противоположности их взглядов и в постоянстве, с которым Кронеккер до самой смерти активно противодействовал идеям Кантора.
3. Время пониженной продуктивности (1884−1897)
1884 г. видимым образом завершает второй, важнейший и плодотворнейший период в творчестве Кантора; начинается следующий период, также продолжительностью в тринадцать лет, когда его созидательная воля, хотя и не сломленная, под влиянием упомянутых обстоятельств и вызванного ими смещения интересов рождает лишь немного произведений, сравнимых по оригинальности с результатами второго периода. С другой стороны, именно в это время новые идеи все больше начинают пробивать себе путь к научной общественности.
В начале 1885 г. психический кризис у Кантора по существу преодолевается, и вновь возрождается его вера в значение собственных достижений. Далее, к его идеям примыкают в возрастающем числе другие математики (прежде всего, в 1885 г. Гарнак, Лерх, Фрагмен). Теоретико-множественная точка зрения предлагается даже для целей школьного преподавания: старший учитель городской гимназии в Галле, Фр. Майер, состоявший в близких личных отношениях с Кантором, публикует в 1885 г. второе издание своих “Elemente der Arithmetik und algebra” («Элементов арифметики и алгебры»), на которые оказали решительное влияние идеи Кантора о трансфинитном; в частности, в этой книге понятие числа вводится теоретико-множественным путем. Правда можно усомниться, произвела ли эта высоко стоящая в научном отношении книга надлежащее воздействие на школьное преподавание, на которое была рассчитана. В последующие годы выходит и ряд дальнейших работ самого Кантора, в которых изложение и защита ранее достигнутого, особенно же дискуссии философского характера, превышают новое творчество. В математическом отношении интересы Кантора все больше смещаются, отдаляясь от точечных множеств в сторону расширения понятия числа. На то же время приходится обширная корреспонденция с математиками, философами, теологами и другими учеными, в которой он уточняет свои взгляды на актуальную бесконечность, защищая ее от недоразумений. Он находит досуг также для расширения своих и до того поразительных познаний в старой философской и теологической литературе о проблеме бесконечного. В этом духе написаны работы“Über die verschiedenen Standpunkte in Besug auf das aktuelle Unendliede” («О различных точках зрения на актуальную бесконечность») и “Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten” («К учению о трансфинитном»), в значительной мере направленные в сторону философии и полемически окрашенные. Кроме того, в конце последней из них содержится еще своеобразная теория кратных порядковых типов; в 1888 г. появилась диссертация на эту тему “Ein Beitrag zur Theorie der Ordnungstypen” («К теории порядковых типов») его ученика, впоследствии философа Германа Шварца, возникшая под влиянием прочитанных в 1887 г. лекций Кантора. К тому же времени относится высказывание Кантона (в письме Виванти), что многозначная аналитическая функция способна принимать в заданной точке не более чем счетное множество различных значений (и предложение доказать это).
Наряду с другими соображениями, прежде всего конфликт с Кронеккером привел его к убеждению, что для обеспечения свободы и научной независимости отдельного, в особенности начинающего исследователя в математическом сообществе и для защиты от чрезмерного влияния отдельных ученых целесообразно объединить немецких математиков в одну организацию. По его инициативе было основано Немецкое математическое объединение, которому с самого начала он был предан всей душой, никогда не уставая подчеркивать значение его для свободы научного творчества. Мы находим имя Кантора среди подписавших «гейдельбергское воззвание» 1889 года, первое публичное обращение к коллегам по случаю 62-го Съезда немецких естествоиспытателей и врачей, а также принятые в следующем году «бременские постановления» Математико-аcтрономического отдела Съезда естествоиспытателей, которыми и было учреждено Объединение. Начиная с основания Объединения (18 сентября 1890 г. Кантор был его председателем, а также соиздателем двух первых томов “Jahresbericht”, и когда осень 1893 г. он вынужден был по состоянию здоровья отказаться от председательства, в выраженной ему благодарности подчеркивалось, что именно ему принадлежит «первый почин основания Объединения, а его живое и энергичное участие привело к осуществлению этого плана»[21].
Отложив личную неприязнь, он пригласил Кронеккера сделать вступительный доклад на первом собрании Объединения в Галле (осенью 1891 года)[22]. Кронеккер, не будучи в состоянии принять это приглашение вследствие смерти жены, в своем ответе высказал аргументы в пользу и против этой организации; письмо его, в существенной части, было опубликовано в первом томе “Jahresbericht”. По случаю первого собрания Объединения Кантор прочел также знаменитый доклад [17], в котором упростил доказательство одного из своих теоретико-множественных результатов, что позволило теми же средствами (с помощью диагонального процесса) установить существование бесконечного числа различных трансфинитных мощностей. Это рассуждение значительно проще доказательства того же предложения с помощью числовых классов в части 5 работы [13] и избегает, сверх того, обходного пути через порядковые числа.
