Д.С. Распознавание образов вообще очень тяжёлая область математики, где с большой кровью и с большим трудом даётся прогресс. Есть такие очевидные вещи, которые человек легко решает. Я субъективно уверен, скажем, что вы не марсианин, а объяснить это компьютеру – очень непростая задача. И её, в общем, нужно решать совместно и математикам и биологам. С моей точки зрения, для того чтобы подобные программы начали хорошо работать, должны появиться люди, которые в одной своей ипостаси, скажем, ботаники, а в другой – специалисты, скажем, по вычислительной математике.
Это трудно, но исторически примерно так развивалась, скажем, математическая физика. Были у её истоков такие люди, например, как Андрей Николаевич Колмогоров. Математик, но писал и чисто физические работы. Скажем по теории турбулентности, за которые любому, самому заядлому физику памятник нужно ставить. Нужно, чтобы такие же люди появились у того места, где внедряются компьютерные программы.
А.О. Тогда, может быть, надо говорить немножко иначе. Да, действительно, я уже сказал, что вид – это то, что считает видом компетентный систематик. То есть, виды обычно распознаются «в лицо». И для того чтобы научить распознавать других людей, несистематиков, указываются идентификационные признаки, определительные признаки. Но часто эта задача достаточно сложна. Здесь и нужно помочь несистематикам распознавать виды. Вот это – запрос от ботаников к математикам, который, как я понимаю, пока не вполне удовлетворён.
Д.С. Вполне не удовлетворён.
А.О. Что касается вашего рассуждения, я думаю, что сейчас появляется определённого рода профессия под названием «когнитология», наука об интервьюировании экспертов. Мы имеем дело не с субъективным, а так называемым экспертным знанием, и задача когнитолога поговорить, понять, раскрыть опыт, личный опыт эксперта, и формализовать его в таком виде, чтобы представить его в виде компьютерной программы.
Но теперь нам, наверное, стоит перейти к области ботаники, в которой нужда в применении математики прямая и непосредственная, это морфология растений. Когда речь идёт о форме растений, то тут само напрашивается применение геометрии. Здесь вот существуют разные подходы, один из них развивается в Москве, в Зоологическом музее при Университете, где работает Игорь Яковлевич Павлинов. Он пропагандирует подход под названием «геометрическая морфометрия». Его статью об этом я прочитал буквально три дня назад в «Журнале общей биологии», в самом последнем выпуске. Подход в том, что описывается разнообразие формы некоего органа или целого организма, а затем выявляются правила топологического преобразования этой формы. Я видел эту работу, она любопытна, но пока лично я не знаю, как осмысленно применить этот метод для себя, для моих узких задач. Но я надеюсь, что, может быть, для распознавания видов он может быть и применён.
Д.С. Морфология, которая является одним из базисов систематики, – наука о форме, и геометрия тоже наука о форме, только морфология растений – наука о форме растения, геометрия – наука о форме вообще. Тут общность интересов очевидна. Вопрос в том, как развить те геометрические подходы, которые действительно нужны. И тут мы ещё раз выходим на применение фракталов. Действительно, многие растения демонстрируют нечто похожее на фракталы. Фракталы – это не просто объекты промежуточной размерности, это, как правило, объекты, у которых есть, как говорят, самоподобие. Они в малом устроены так же, как в большом.
А.Г. Значит, он опознаётся по любому участку.
Д.С. Да, опознаётся. Но нужно, наверное, иллюстрацию показать какую-нибудь.
А.О. Использование фрактальных подходов в морфологии растений, в большой мере было подготовлено морфологическими исследователями французских ботаников. С одной стороны, это так называемая концепция архитектурных моделей, которая была предложена французскими ботаниками Алле и Олдеманом в 70-е годы. Эти ботаники долгое время работали во Французской Гвиане. Они столкнулись с необходимостью описывать структуру вегетативного тела тропических деревьев, но у них не было концептуального аппарата. Оказалось, что та морфология растений, те концепции, которые сложились у нас в Европе, в лесах умеренного пояса, в тропиках не работают. И тогда Алле и Олдеман предложили концепцию так называемых архитектурных моделей. Дерево рассматривается как конструкция, состоящая из модулей, которые в определённой последовательности нарастают друг на друга. Есть разные типы модулей, разные способы нарастания, и модели строятся комбинаторно. То есть, у одних деревьев идёт непрерывное нарастание, скажем, одной вертикальной оси, у других происходит перевершинивание. Одна ось кончается цветком, то есть рост останавливается, у других осей рост открытый. Возможно горизонтальное положение побегов, а возможно и вертикальное. Всего известно 23 архитектурных модели, некоторые комбинации не могут быть реализованы в природе. Фактически, эта такая структуралистская концепция, которая, кстати, развивалась одновременно с работами Леви-Стросса. Я не знаю, читали ли Алле и Олдеман работы знаменитых французских структуралистов-гуманитариев, но наверняка интеллектуальная атмосфера того времени располагала к созданию подобных концепций…
Д.С. Можно я про интеллектуальную атмосферу два слова скажу? Честность научная заставляет сказать, что впервые на это обратил внимание Свифт. У него есть хорошие стихи, которые всегда по этому поводу цитируются. Он не только «Путешествия Гулливера» написал. У него есть ещё замечательные поэмы, рапсодия «О поэзии», в которой он пишет (перевод Маршака):
«Натуралистами открыты у паразитов паразиты.
И произвёл переполох тот факт,
Что блохи есть у блох.
И обнаружил микроскоп,
Что на клопе бывает клоп,
Питающийся паразитом.
На нём другой – ad infinitum».
Вот такая модульная структура в животном царстве. Надо сказать, Маршак этот отрывок специально подсобрал из разных мест этой поэмы. Мой хороший знакомый Дэвид Мосс из университета Манчестера по моей просьбе изучил, как Свифт это публиковал, и оказалось – в английском оригинале немножко более смазано сказано, а здесь у Маршака – очень здорово.
А.О. Ну, тогда попросим следующую иллюстрацию. Вот другая концепция, тоже пришедшая из Франции, это концепция псевдоциклов. Концепция псевдоциклической эволюции, которая была предложена в 30-е годы французским биологом Госаном. Он обратил внимание, что у многих организмов, не только у растений, но, например, у колониальных животных, наблюдается удивительное сходство частей и целого, и рассмотрел это как общую тенденцию эволюции. Например, вот как на этой иллюстрации. Слева мы видим соцветие простой зонтик, у примулы, например, справа мы видим соцветие сложный зонтик, типичный для зонтичных – морковки или, например, тмина. Здесь видим, что структура повторяется на следующем уровне. Но интересно, что эволюция идёт в направлении, во-первых, упрощения этих частей. То есть, эти простые зонтички в сложном зонтике в процессе эволюции редуцируются до одного цветка. А с другой стороны, вся побеговая система превращается в зонтик следующего порядка. И вот Татьяна Валентиновна Кузнецова, выдающийся морфолог, работавшая на кафедре высших растений в Московском Университете, и, к сожалению, безвременно оставившая нас, специально занималась псевдоциклами у соцветий зонтичных. Она проследила до 5 псевдоциклов у разных зонтичных. То есть, вот пример самоподобия, а заодно и фрактальных свойств (таких как автомодельная симметрия) у соцветий. Это как раз та биологическая концепция, которая просто напрашивается на математизацию.
Д.С. Фракталы вошли в физику, отталкиваясь от свойства самоподобия. Хоусдорф понятие этой самой размерности в 18-м году сформулировал, но это всё-таки была трудная математическая работа. А было такое событие, о котором всегда принято рассказывать. Замечательный гидромеханик Ричардсон во время мировой войны хотел сделать что-то хорошее. Его послали изучить, какова длинна береговой линии Англии. Понятное дело, нужно как-то страну оборонять, нападения с моря бывают. Вот он поизучал-поизучал вопрос и пришёл к выводу, что бесконечная длина у береговой линии. Это даже лучше видно на береговой линии Норвегии. У нас есть рисуночек с длиной береговой линии Норвегии из известной книжки Федера о фракталах. Видно, что вопрос о том, какова длина той кривой, которая изображена на рисунке, зависит от того, в каком масштабе мы её изучаем. Выбираем квадратики побольше, и, игнорируя тонкую структуру, длина береговой линии одна. Начинаем отслеживать все эти фиорды, всю эту мелочь – длина береговой линии начинает расти. И вот в зависимости от степени разрешения, она растёт больше, больше… И никакого определённого числа нет.
