Д.С. Фракталы вошли в физику, отталкиваясь от свойства самоподобия. Хоусдорф понятие этой самой размерности в 18-м году сформулировал, но это всё-таки была трудная математическая работа. А было такое событие, о котором всегда принято рассказывать. Замечательный гидромеханик Ричардсон во время мировой войны хотел сделать что-то хорошее. Его послали изучить, какова длинна береговой линии Англии. Понятное дело, нужно как-то страну оборонять, нападения с моря бывают. Вот он поизучал-поизучал вопрос и пришёл к выводу, что бесконечная длина у береговой линии. Это даже лучше видно на береговой линии Норвегии. У нас есть рисуночек с длиной береговой линии Норвегии из известной книжки Федера о фракталах. Видно, что вопрос о том, какова длина той кривой, которая изображена на рисунке, зависит от того, в каком масштабе мы её изучаем. Выбираем квадратики побольше, и, игнорируя тонкую структуру, длина береговой линии одна. Начинаем отслеживать все эти фиорды, всю эту мелочь – длина береговой линии начинает расти. И вот в зависимости от степени разрешения, она растёт больше, больше… И никакого определённого числа нет.
А.Г. То есть это всё-таки конечная величина?
Д.С. Конечно, если вы, совсем, буквально микроскопическими масштабами оперируете, встаёт вопрос, как движется береговая линия во время приливов и отливов. Вопрос теряет просто смысл. Но есть диапазон масштабов, где действительно наблюдается степенная зависимость длины линии береговой от степени разрешения. Да, это действительно очень похоже на то, что получается для растений. Даже в книжках по фрактальной геометрии есть картинки, которые называют листьями папортника. Они возникают, когда люди хотят проиллюстрировать, что такое фрактал. А с другой стороны, люди, которые хотят объяснить, как устроена архитектура растений, буквально такие же картинки рисуют безотносительно ко всяким фракталам. Наверное, стоит показать эти рисунки.
Это картинка более или менее произвольная из того же Федера. Такого характера растения вполне могут существовать.
А.О. Водоросли, конечно.
Д.С. А на самом деле, эта картинка, иллюстрирующая, как происходят построения кластеров химических соединений. А сейчас будут картинки из ботаники. Вот, это очень изрезанная картинка, видны ярусы, как строится организация…
А.О. Самое главное для меня – это впечатляющее самоподобие, то есть сходство части и целого. В чём может быть тут ещё интерес? В традиционной морфологии растений и животных рассматриваются два типа сходства между частями организма – гомология и аналогия. Скажем, рука человека гомологична крылу птицы, потому что эти конечности имеют общее происхождение, хотя и разные функции. Глаз человека аналогичен глазу осьминога. Это значит, что происхождение у них разное, но функция одна. Но в обоих этих примерах всё равно сравниваются именно части. А вот тут, когда мы имеем дело с фрактальными объектами, часть сравнивается с целым. И как раз эти работы дают законное основание для такого рода сравнения. Это несколько нетрадиционно для биологической морфологии.
Д.С. Я впервые об этом узнал от Татьяны Валентиновны Кузнецовой. Она меня пригласила на школу для студентов-биологов кое-что из математики рассказать. Она там блестящий доклад сделала. Я просто тогда был потрясён, потому что всегда думаешь, ну, нарисовали там какие-то красивые картинки математические, а что действительно так бывает в живой природе… Конечно, огромная потеря, что она так рано от нас ушла.
А.О. Как раз, наверное, следующую картинку стоит показать. То, на что вот смотрите, это растение вполне натуральное, смоделированное на основе этих фрактальных подходов. И подобные модели позволяют уже заниматься довольно тонким анализом биологического смысла этой фрактальной организации. То есть, скажем, здесь можно рассмотреть, как листья затеняют друг друга. Или что будет, если верхушку побега отгрызёт какое-нибудь насекомое, как изменится рост. Соответственно, можно моделировать различные стратегии адаптивности, приспособления к условиям среды. То есть эти модели, с одной стороны, красивы и эстетичны, а с другой стороны, приобретают совершенно явный биологический смысл.
Д.С. В таких вопросах очень легко увлечься внешней аналогией. Но на самом деле есть мотивация биологическая, почему фрактальная природа может быть значима. В своё время Галилей обратил внимание на то, что в живой природе должно быть такое ограничение. Представим себе, какие бы мы были, если бы жили на Юпитере. Галилей рассматривает этот вопрос в одной из своих книг. И приходит к выводу, что мы должны были бы быть карликами, потому что объём тела пропорционален кубу размера, а прочность костей пропорциональная квадрату размера. Но не вся правда в этой идее Галилея. На самом деле, если мы организуем такое модульное строение растения и разрешаем ему быть фракталом, то само понятие объёма тела и площади поверхности преобразуются и можно выскочить из этой связки между объёмом и площадью поверхности. Не исключено, что природа пользовалась этой опцией, как говорится.
А.О. Но я бы к этому отнёсся немножко иначе, на мой взгляд, всё-таки все эти фрактальные эффекты – это результат общего строения, общей конституции растительного тела. Для него характерен, во-первых, открытый рост, это значит, что каждый последующий прирост встраивается в предыдущее тело. В этом – их отличие от животных, у которых что-то вырастает, но что-то постоянно теряется. И, с другой стороны, тут важна именно модульная организация. Таковы конститутивные свойства растительной формы, но они относятся также и к грибам также, грибы всё-таки это другое царство, нежели растения. На основе этих свойств мы получаем фрактальные эффекты, подобие частей и целого, и в каких-то конкретных ситуациях они безусловно, имеют приспособительное значение…
25.06.03 (хр.00:50:07)
Участники:
Юрий Николаевич Ефремов – доктор физико-математических наук, профессор.
Артур Давыдович Чернин – доктор физико-математических наук, профессор.
Александр Гордон: …которая прозвучала как одна из версий возникновения Вселенной в этой программе. Версия была, если я верно излагаю, следующая: физический вакуум, вот этот самый непостижный и непонятный нам первичный вакуум в результате некоей флуктуации произвёл частицу, которая, пройдя под барьером, из-за туннельного эффекта, попав в то, что теперь называется пространством-временем, всё и натворила. То есть, это так или иначе приближение к квантовой теории гравитации и, следовательно, квантовой теории происхождения Вселенной. У меня возникает одна большая проблема: если верить современной квантовой механике, в момент возникновения этой частицы и её туннелирования, её прохода под барьером, должен был быть наблюдатель. И вот тут взамен версии, которую предлагают многие учёные (я читал это и в материалах к сегодняшней программе, версии от божественного до разумного происхождения наблюдателя; некий разум, может быть, схожий с нами, произведший эксперимент в лаборатории, в результате чего получилась эта самая Вселенная), я услышал вдруг вот какую версию. Поскольку речь шла об обнаружении гравитационных волн, которые вот-вот сможем поймать и зафиксировать, то у нас появится возможность пройти через реликтовое излучение своим взглядом и попасть туда, в самое начало Вселенной. И вот тогда, поскольку время-то относительно – прошлое, настоящее, будущее – всё, в общем, одномоментно, – тогда у начала Вселенной появится наблюдатель, необходимый для её происхождения, и этот наблюдатель – мы. Вот это меня абсолютно поразило, и я требую, просто настаиваю на ваших комментариях.
Артур Чернин: Это большая честь для нас сотворить Вселенную своим фактом её наблюдения. Но нужно подумать о том, как проверить эту идею экспериментальным путём. И если это не физика, а философия, пожалуйста, можете говорить что угодно, не заботясь ни о каких экспериментальных тестах. Но если вы желаете говорить о физике, извольте придумать эксперимент, хотя бы мысленный, эксперимент, в котором вы бы проверили, в самом ли деле вы своим взглядом, ну пусть с помощь гравитационных волн, на начальное состояние Вселенной, этим самым взглядом её сотворили. Скажите, вы можете представить себе такой эксперимент?
А.Г. Я – нет. Но я, честно говоря, и не размышлял над этим с точки зрения эксперимента.
А.Ч. Я тоже не могу себе представить такого эксперимента, и я думаю, что его и не существует, не существует эксперимента, который дал бы ответ «да» или «нет» на вопрос, правильно так рассуждать или это ложное рассуждение. Ну, если нет такого эксперимента, я думаю, что нет. Ты как считаешь?
