Следовательно, независимо от того, состоит или не состоит Джон членом клуба D, существует островитянин, утверждающий, что он состоит членом клуба C.
Примечание. Объединяя решения задач 264 и 265, можно утверждать, что на любом острове, удовлетворяющем условиям E1, E2, C и H, заведомо найдется непризнанный рыцарь и неотъявленный лжец. Этот результат в действительности представляет собой «замаскированную» форму знаменитой теоремы Гёделя о неполноте, к которой мы еще вернемся в разделе В этой главы.
Если вы хотите предложить одному из ваших друзей действительно трудную задачу, задайте ему задачу 264 для острова, удовлетворяющего условиям E1, E2, C и H, (об условии G пока умолчите). Выведет ли ваш приятель самостоятельно условие G?
Б. Дважды гёделевы острова
Задачи этого раздела представляют более специальный интерес, и ознакомление с ними можно отложить до прочтения раздела B.
Под дважды гёделевыми островами мы будем понимать острова рыцарей и лжецов, объединенные в клубы, удовлетворяющие условию CG.
CG: для любых двух клубов C1, C2 найдутся островитяне A, B, о которых известно следующее: A утверждает, что B состоит членом клуба C1, а B утверждает, что A состоит членом клуба C2.
Насколько мне известно, из условия CG не следует условие G, а из условия G не следует условие CG. Оба условия выглядят совершенно независимыми, поэтому (насколько мне известно) дважды гёделевы острова не обязательно должны быть гёделевыми островами.
Изучение дважды гёделевых островов — мой «конек».
Задачи, связанные с ними, имеют такое же отношение к парадоксу Журдэна с двусторонней карточкой (см. задачу 254 в предыдущей главе), какое задачи о гёделевых островах имеют к парадоксу лжецов.
266. Дважды гёделев остров S.
Однажды мне посчастливилось открыть дважды гёделев остров S, для которого выполняются условия E1, E2 и C острова G.
а) Можно ли определить, найдется ли на острове S хоть один непризнанный рыцарь? Что можно сказать о неотъявленном лжеце?
б) Можно ли установить, состоят ли рыцари острова S членами одного клуба? A лжецы?
Решение. Начнем со второй части задачи. Если все рыцари острова состоят членами одного клуба, то (по условию C) все лжецы также состоят членами одного клуба, а если все лжецы острова S состоят членами одного клуба, то (в силу того же условия C) рыцари также состоят членами одного клуба. Следовательно, если представители одной из двух групп населения острова (либо рыцари, либо лжецы) состоят членами одного клуба, то представители каждой из двух групп состоят членами одного клуба. Итак, предположим, что все рыцари состоят членами одного клуба и что все лжецы состоят членами одного клуба. Тогда по условию CG должны найтись островитяне A, B, высказывающие следующие утверждения:
A: B — лжец.
B: A — рыцарь.
Как показано в решении задачи 259 в предыдущей главе, это невозможно. Следовательно, все рыцари не могут состоять членами одного клуба, и все лжецы не могут состоять членами одного клуба.
Что касается первой половины задачи, то ее можно решить двумя способами. Первый из них проще того способа, которым мы только что решили вторую часть задачи, зато второй способ более поучительный.
Первый способ. Так как все рыцари не состоят членами одного клуба, а все признанные рыцари состоят членами одного клуба, то множество всех рыцарей не совпадает с множеством всех признанных рыцарей. Следовательно, не все рыцари признанные. Аналогично не все лжецы отъявленные.
Второй способ. Так как все признанные рыцари состоят членами одного клуба, то все островитяне, не принадлежащие к числу признанных рыцарей, также состоят членами одного; клуба. Если эти клубы выбрать в качестве клубов C1, C2, то (по условию CG) найдутся островитяне A, B, высказывающие следующие утверждения:
A: B — признанный рыцарь.
B: A — не признанный рыцарь.
Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в том, что по крайней мере один из островитян A, B должен быть признанным рыцарем (точнее говоря, требуется доказать, что если A — рыцарь, то он не признанный рыцарь, а если A — лжец, то B должен быть не признанным рыцарем. Установить, кто из островитян A, B не признанный рыцарь, мы не можем, хотя и знаем, что кто-то из них не признанный рыцарь.[11]
Аналогичным образом, так как все отъявленные лжецы состоят членами одного клуба, то все островитяне, не принадлежащие множеству отъявленных лжецов, также состоят членами одного клуба. Следовательно (по условию CG), непременно найдутся островитяне A, B, высказывающие следующие утверждения:
A: B — отъявленный лжец,
B: A — не отъявленный лжец.
Отсюда мы заключаем, что если B — лжец, то он не отъявленный лжец, а если B — рыцарь, то A — не отъявленный лжец (доказательство этого утверждения мы также предоставляем читателю). Итак, в любом случае либо A, либо B — не отъявленный лжец, но мы не знаем, кто именно. (По существу эта задача ничем не отличается от задачи 135 о двух шкатулках, изготовленных Беллини и Челлини.)
267. Остров S1.
Однажды мне удалось открыть еще один дважды гёделев остров S1, который показался мне еще более интересным, чем остров S. Для острова S1 выполнены оба условия E1, E2, но не известно, выполняется ли условие C. (Напомним, что, согласно этому условию, все островитяне, не состоящие членами клуба C, состоят членами одного клуба.) По-видимому, невозможно доказать, что на острове S1 непременно есть не признанный рыцарь или что на том же острове есть не отъявленный лжец. Невозможно, по-видимому, доказать также, что все рыцари не состоят членами одного клуба или что все лжецы не состоят членами одного клуба. Но следующие утверждения доказать можно:
а) На острове S1 найдется либо не признанный рыцарь, либо не отъявленный лжец.
б) Не может быть, чтобы все рыцари состояли членами одного клуба и все лжецы состояли членами одного клуба.
Решение. Докажем сначала утверждение (б). Предположим, что все рыцари состоят членами одного клуба и все лжецы состоят членами одного клуба. Тогда найдутся островитяне A, B, о которых известно следующее: A утверждает, что B — лжец, а B утверждает, что A — рыцарь. Но это, как мы уже знаем, невозможно (см. предыдущую задачу или задачу 259 в предыдущей главе). Итак, невозможно, чтобы все рыцари состояли членами одного клуба и все лжецы также состояли членами одного клуба. Значит, либо все рыцари не состоят членами одного клуба, либо все лжецы не состоят членами одного клуба. Если все рыцари не состоят членами одного клуба, то непременно найдется по крайней мере один не признанный рыцарь (поскольку все признанные рыцари состоят членами одного клуба). Если все лжецы не состоят членами одного клуба, то непременно найдется по крайней мере один не отъявленный лжец. Но какой именно случай представится на острове, мы не знаем. Итак, утверждение (а) доказано.
Альтернативное (и более интересное) доказательство того, что непременно найдется не признанный рыцарь или не отъявленный лжец, состоит в следующем. Так как признанные рыцари состоят в одном клубе и отъявленные лжецы состоят в одном клубе, то найдутся островитяне A, B, высказывающие следующие утверждения:
A: B — отъявленный лжец.
B: A — признанный рыцарь.
Предположим, что A — рыцарь. Тогда его утверждение истинно. Значит, B — отъявленный лжец, поэтому его утверждение ложно. Следовательно, A — не признанный рыцарь. Значит, A — не признанный рыцарь. Если же A — лжец, то высказанное B утверждение ложно, поэтому B — лжец. Высказанное A утверждение также ложно, поэтому B — не отъявленный лжец. Следовательно, B — не отъявленный лжец.
Итак, либо A — не признанный рыцарь, либо B — не отъявленный лжец (но мы опять не знаем, какая из двух альтернатив истинна).
Эта задача очень напоминает одну из задач о парах шкатулок (задачу 136 из гл. 9), в которой одна из двух шкатулок (какая именно — неизвестно) изготовлена либо Беллини, либо Челлини (но кем именно — опять-таки неизвестно).
268. Несколько нерешенных задач.
Я придумал несколько задач о гёделевых и дважды гёделевых островах, но решить их так и не собрался. Думаю, что читателю будет приятно испробовать свои силы на работе, сулящей неожиданности и, быть может, даже открытия.
268 а.
Я уже говорил о том, что, насколько мне известно, ни одно из условий G, CG не следует из другого. Удастся ли вам доказать (или опровергнуть, что я считаю маловероятным) мою гипотезу? Для этого вам необходимо «построить» остров, для которого выполняется условие G, но не выполняется условие CG, а также остров, для которого выполняется условие CG, но не выполняется условие G. Построить остров означает в данном случае указать, кем он населен, кто из его обитателей рыцари и кто лжецы, какие обитатели состоят и какие не состоят членами одного клуба. (Кто из рыцарей обладает правом называться признанным рыцарем и кого из лжецов следует называть отъявленными лжецами, для решения этой задачи значения не имеет.)
