предсказать вероятность возможной встречи с вашим случайным знакомым в гавани Сингапура довольно трудно: слишком сложны законы, управляющие действиями людей. Поэтому во всех учебниках с завидным постоянством объясняют законы случая на примере бросания монеты.
ИГРА В «ОРЕЛ — РЕШКУ» И СТРЕЛЬБА В ТИРЕ
Любое событие, вероятность которого можно вычислить, является одним из исходов некоторой серии испытаний.
Условимся: если какое-либо испытание имеет несколько исходов, то полная вероятность произойти хоть какому-то событию равна единице. Это условие ниоткуда не следует, но оно общепринято, и мы тоже не станем изменять традиции. Поэтому слова «событие произойдет с вероятностью единица» означают, что оно произойдет наверняка.
Отсюда ясно также, что вероятность какого-то одного исхода всегда меньше единицы. В примере с монетой каждое испытание — бросание монеты — имеет только два исхода:
она может упасть либо гербом вверх, либо гербом вниз. (Мы исключаем неправдоподобно редкие случаи, когда монета при падении останется стоять на ребре.) Если монета сделана без хитростей, то оба исхода бросания равновероятны. Отсюда просто заключить, что вероятность монете упасть гербом вверх равна 1/2. Столь же легко вычислить вероятность появления, скажем, 3 очков при бросании игральной кости: очевидно, она равна 1/6.
Число аналогичных примеров каждый легко умножит сам, но все они во многом похожи.
Во-первых, каждое последующее испытание (бросание кости или монеты) не зависит от предыдущего.
Во-вторых, результат каждого испытания есть случайное событие, то есть мы не знаем (или не можем учесть) всех причин, которые приводят к тому или иному исходу события.
Последнее особенно важно. В самом деле, монета — не атом и ее движение подчиняется хорошо известным законам классической механики. Используя их, мы можем заранее предвидеть все детали движения монеты и предсказать, как она упадет: гербом вверх или вниз. Мы можем даже нарисовать ее траекторию движения. Конечно, это очень трудно: нужно принять во внимание сопротивление воздуха, форму монеты, упругость пола, на который она упадет, и еще много других важных мелочей. И — самое главное — для этого необходимо точно задать начальное положение и скорость монеты.
Однако учесть все мыслимые причины, влияющие на исход испытания, не всегда возможно. Например, в случае с монетой мы никогда не знаем достаточно точно ее начального положения и скорости. А всякое, даже очень небольшое, их нарушение может изменить результат бросания на противоположный. И тогда уже нельзя быть уверенным, что при этом бросании монета упадет гербом вверх. Можно только сказать: при любом бросании вероятность появления герба равна 1/2.
Простые примеры, которые мы привели, не объясняют пока, почему так важно понятие вероятности в квантовой механике. Но прежде чем это станет ясным, познакомимся хотя бы бегло с основными законами теории вероятностей. Законы случая (несмотря на странное сочетание этих слов) такие же строгие, как и все другие законы математики. Однако они имеют некоторые непривычные особенности и вполне определенную область применимости. Например, легко можно проверить, что при большом числе бросаний герб выпадет примерно в половине случаев и закон этот выполняется тем точнее, чем больше испытаний мы проведем. Тем не менее это знание не поможет нам предсказать исход каждого отдельного бросания монеты. В этом и состоит главная особенность законов случая: понятие вероятности применимо к отдельному событию и мы можем вычислить заранее число, которое этому понятию соответствует. Однако измерить его можно только при многократном повторении однотипных испытаний.
Очень важно, чтобы испытания были действительно однотипными, то есть полностью неразличимыми, поскольку только тогда измеренное число-вероятность можно использовать для характеристики каждого отдельного случайного события, которое является одним из возможных исходов испытания.
Непривычные особенности законов случая имеют естественное объяснение. В самом деле, бросание монеты — очень непростой процесс. Мы не хотим или не умеем изучать его во всей сложности и стремимся узнать только конечный результат испытания. Такое пренебрежение к деталям процесса не проходит даром — теперь достоверно мы можем предсказать только усредненный результат многочисленных однотипных испытаний, а для каждого отдельного случайного события мы в состоянии указать лишь вероятный его исход.
Широко бытует заблуждение, что вероятностное описание движения менее полно, чем строго причинное, классическое, с его понятием траектории. С точки зрения классической механики это действительно так. Однако, если мы откажемся от части ее жестких требований (например, от знания начальных координат и импульсов частиц), тогда классическое описание становится сразу же бесполезным. На смену ему приходит вероятностное описание, и в новых условиях оно будет столь же исчерпывающим, поскольку сообщает нам все сведения о системе, которые можно узнать о ней с помощью опыта.
При игре в «орел — решку» мы намеренно не хотим знать начальные положение и скорость монеты и целиком полагаемся на волю случая. Наоборот, приходя в тир, мы всегда стремимся попасть в центр мишени. Но, несмотря на это — достаточно сильное — желание, мы никогда заранее не знаем, в какое место мишени попадет каждая из пуль. После стрельбы отверстия в мишени группируются в довольно правильный овал, который принято называть «эллипсом рассеяния». Его форма зависит от многих причин.
Для того чтобы все пули, вылетающие из винтовки, попадали всегда в одну и ту же точку мишени, необходимо им всем в момент вылета иметь одни и те же начальные координаты x0 и скорости υ0 (или импульсы p0). А это возможно лишь в том случае, если вы целитесь безошибочно и, кроме того, заряд пороха во всех патронах в точности одинаков. Ни то, ни другое обычно не достижимо. Поэтому распределение отверстий от пуль на мишени всегда подчиняется законам случая, и можно говорить лишь о вероятности попадания в «десятку» или «девятку» мишени, но никогда нельзя быть уверенным в этом заранее.
Как и при игре в «орел — решку», эту вероятность можно измерить. Допустим, мы произвели 100 выстрелов и 40 раз попали в «десятку», 30 раз — в «девятку», 15 — в «восьмерку» и так далее — до нуля. Тогда вероятность попадания в «десятку», «девятку», «восьмерку» и т. д. соответственно
W10 = 40/100 = 0,4, W9 = 0,3, W8 = 0,15 и т. д.
Можно даже построить диаграмму эллипса рассеяния, отложив по горизонтали числа 1, 2, 3, ..., а по вертикали — вероятности попадания в соответствующие им области мишени.
Если мы возьмем теперь точно такую же мишень и вновь 100 раз по ней выстрелим, то расположение отверстий на ней будет совсем другим,
