Используя этот подход, можно работать с пространством любой размерности — не обязательно (x, y, z), но и (а, b, с, d, e, f) или (j, k, l, m, n, о, p, q, r, s) — размерность каждого конкретного пространства определяется числом координат, необходимых для того, чтобы указать положение точки в этом пространстве. Вооружившись такой системой, можно рассматривать пространства любой размерности и проводить в них различные вычисления, не заботясь о том, как эти пространства изобразить.
Через два столетия после Декарта эту идею подхватил и развил великий немецкий математик Георг Фридрих Бернхард Риман. В 1850-х годах, работая над геометрией искривленных (неевклидовых) пространств — этой темы мы еще коснемся в следующей главе, — Риман установил, что такие пространства не ограничены в смысле количества измерений. Он также показал, как можно в этих пространствах точно рассчитывать расстояние, кривизну и другие характеристики. В 1854 году при соискании должности экстраординарного профессора Риман сделал доклад «О гипотезах, лежащих в основах геометрии». Изложенные в нем принципы известны с тех пор как риманова геометрия. В этом докладе Риман задался вопросом о размерности и геометрии Вселенной как целого. Помимо этого, еще не достигнув тридцатилетнего возраста, Риман начал работу над математической теорией, способной связать воедино электричество, магнетизм, свет и гравитацию, — предвосхитив тем самым задачу, которая по сей день не дает покоя ученым.
Хотя Риману и удалось освободить пространство от ограничений евклидовой плоскости и трех измерений, физики в течение десятилетий не обращали внимания на его идеи. Отсутствие какого-либо интереса с их стороны можно объяснить отсутствием каких-либо экспериментальных доказательств, позволяющих сделать вывод об искривленности пространства или о существовании дополнительных измерений, помимо трех. Таким образом, новаторские математические построения Римана настолько опередили физику того времени, что потребовалось еще почти пятьдесят лет, чтобы физики (или, по крайней мере, один из физиков) смогли воспользоваться его идеями. Этим физиком стал Альберт Эйнштейн.
При разработке специальной теории относительности, которая была впервые представлена в 1905 году и в последующие годы развита в общую теорию относительности, Эйнштейн обратил внимание на идею немецкого математика Германа Минковского, состоящую в том, что время неразрывно связано с тремя пространственными измерениями, образуя с ними новую геометрическую конструкцию, известную как пространство-время. Так неожиданно время обрело статус четвертого измерения, которое еще десятилетиями ранее было включено Риманом в его элегантные уравнения.
Любопытно, что британский писатель Герберт Джордж Уэллс предвосхитил ту же идею десятью годами ранее в своем романе «Машина времени». Как объясняет путешественник по времени, главный герой романа: «И все же существуют четыре измерения, из которых три мы называем пространственными, а четвертое — временным. Правда, существует тенденция противопоставить три первых измерения последнему».[8]
Практически ту же самую мысль повторил Минковский в своей речи, произнесенной в 1908 году, за исключением разве что того факта, что он смог привести математическое обоснование своего претенциозного заявления: «Отныне время само по себе и пространство само по себе становятся пустой фикцией, и только единение их сохраняет шанс на реальность».[9] Разумное обоснование того, что эти два понятия (пространство и время) были соединены чем-то вроде брачного союза — если, конечно, заключение брачного союза вообще нуждается в обосновании, — состоит в том, что любой объект движется не только через пространство, но и через время. Поэтому для того, чтобы описать какое-либо событие в четырехмерном пространственно-временном континууме, нужно не три, а четыре координаты — три пространственные и одна временная: (x, y, z, t).
Хотя эта идея и может показаться немного пугающей, ее легко проиллюстрировать наглядным примером. Предположим, что вы собираетесь встретиться с кем-либо в торговом центре. Вы запомнили, где находится здание — например, на углу Первой улицы и Второй авеню, — и договариваетесь встретиться на четвертом этаже. Так вы задаете свои пространственные координаты x, y и z. Теперь остается только установить четвертую координату — принять решение о времени встречи. Когда все координаты, наконец, заданы, вашу встречу можно считать полностью подготовленной, за исключением разве что каких-либо непредвиденных обстоятельств, которые могут вмешаться в дело. Однако если вы хотите представить описанную выше ситуацию, пользуясь терминологией Эйнштейна, нельзя считать, что вы отдельно договариваетесь о месте и отдельно о времени встречи. На самом деле вы договариваетесь о расположении этого события в пространственно-временном континууме.
Так в начале XX века концепция пространства, в котором обитало человечество с античных времен, в один момент превратилась из уютного трехмерного уголка в эзотерическое царство четырехмерного пространства-времени. Концепция пространственно-временного континуума стала краеугольным камнем построенной Эйнштейном теории гравитации — общей теории относительности. Но является ли она тем самым концом пути, о котором мы уже говорили ранее? Станет ли представление о четырех измерениях окончательным или наше знание о пространстве-времени будет развиваться дальше? Возможный ответ на этот вопрос неожиданно нашелся в рукописи, присланной на рецензию Эйнштейну малоизвестным в то время немецким математиком Теодором Калуцой.
В теории Эйнштейна пространство-время задается десятью числами, позволяющими точно описать действие гравитации в четырех измерениях. Для более краткой записи уравнений гравитационного поля принято помещать эти десять чисел в матрицу 4×4, более известную как метрический тензор, — квадратную таблицу, играющую в многомерных пространствах роль «линейки». В нашем случае метрика имеет 16 компонентов, но только 10 из них являются независимыми. 6 чисел из 16 повторяются, потому что гравитация наряду с другими фундаментальными взаимодействиями является по своей природе симметричной.
Рис. 1.4. Поскольку мы не знаем, как нарисовать четырехмерное изображение, этот рисунок представляет собой весьма грубое, умозрительное отображение четырехмерного пространства-времени. В основе концепции пространства-времени лежит предположение, что три пространственных измерения нашего мира (представленные здесь в виде осей x, y и z) полностью равноправны с четвертым измерением — временем. Мы представляем себе время как постоянно изменяющуюся непрерывную переменную, и на данном рисунке представлены моментальные снимки координатных осей, сделанные в различные моменты времени: t1, t2, t3 и т. д. Таким способом мы попытались показать, что в целом существуют четыре измерения: три пространственных и еще одно, представленное временем
В своей статье Калуца взял за основу общую теорию относительности Эйнштейна и добавил еще одно дополнительное измерение, расширив матрицу 4×4 до размера 5×5. Расширив пространственно-временной континуум до пяти измерений, Калуца сумел объединить две известные на тот момент физические силы — гравитацию и электромагнетизм — в одну единую силу. Для наблюдателя, находящегося в пятимерном мире, который вообразил Калуца, эти силы абсолютно идентичны, что, собственно, и понимается под объединением. А вот в четырехмерном мире они не сольются в одну, а, напротив, будут полностью независимы друг от друга.
Можно сказать, что это происходит потому, что обе силы просто не умещаются в одной матрице 4×4. В то же время дополнительное измерение предоставляет достаточно свободного места в матрице для обеих сил, позволяя им быть составляющими одной более всеобъемлющей силы.
Рискуя навлечь на себя неприятности, все же скажу, что, по моему мнению, только математик обладает достаточной смелостью, чтобы считать, что переход к пространствам более высокой размерности позволит проникнуть в суть явления, которое до тех пор безуспешно пытались исследовать в пространствах более низкой размерности. Я так считаю потому, что математики все время имеют дело с дополнительными измерениями. Нам настолько удобно ими пользоваться, что мы уже не обращаем на них особого внимания. Вполне возможно, что мы способны манипулировать дополнительными измерениями даже ночью, не выходя из фазы быстрого сна.
