концептуальное новшество, введенное Эйлером, сводилось к идее о том, что физические размеры города не имеют никакого значения. Важна лишь схема соединений между мостами. Тот же принцип лежит в основе схемы лондонского метро: в отличие от физически точной карты в ней сохранена лишь информация о соединениях между станциями. Если проанализировать карту Кёнигсберга, четыре участка суши, соединенные мостами, можно представить точками, а мосты – линиями, соединяющими эти точки, точно так же, как точки на схеме лондонского метро обозначают разные места Лондона. Тогда задача о возможности или невозможности существования маршрута, проходящего по всем мостам, сводится к вопросу о возможности или невозможности начертить такую же схему, не отрывая карандаш от бумаги и не проводя никакую из линий дважды.
Почему же это невозможно? Хотя Эйлер, вероятно, никогда не чертил такого графического представления Кёнигсберга, его анализ показывает, что маршрут возможен только в том случае, когда в его каждой промежуточной точке на каждую входящую линию приходится одна исходящая. Если вы снова оказываетесь в этой же точке, должен быть новый мост, по которому в нее можно попасть, и новый мост, по которому ее можно покинуть. Единственные исключения из этого правила – начальная и конечная точки маршрута. От точки, из которой вы начинаете движение, отходит одна линия. К точке, в которой маршрут заканчивается, тоже ведет одна линия. Маршрут обхода любого графа может существовать только тогда, когда в этом графе есть не более двух точек (вершин), к которым подходит нечетное количество линий (ребер), – начальная и конечная точки.
Рис. 9.3. Сеть кёнигсбергских мостов
Но если посмотреть на план семи кёнигсбергских мостов, в каждой его точке соединено нечетное количество линий. Такое большое число точек, от которых отходит нечетное число мостов, означает, что составить маршрут прогулки по городу, проходящий по каждому из мостов только по одному разу, невозможно.
Это один из моих любимых примеров шортката. Вместо перебора разных вариантов прокладки маршрута по карте предлагается простой анализ числа точек, от которых отходит нечетное количество мостов, и он сразу же показывает, что проложить такой маршрут невозможно.
Главное достоинство анализа Эйлера состоит в том, что он применим не только к Кёнигсбергу. Эйлер доказал: о какой бы сети, изображенной точками и соединяющими их линиями, ни шла речь, если из всех вершин исходит четное количество ребер, всегда можно составить маршрут, проходящий по всем линиям один, и только один, раз. Кроме того, такой маршрут возможен, если есть ровно две вершины с нечетным количеством ребер, при условии, что эти вершины являются начальной и конечной точками маршрута. Какой бы сложной ни была карта, такой простой подсчет количества нечетных вершин дает нам шорткат к пониманию возможности или невозможности ее обхода.
В Кёнигсберге было всего семь мостов. Однако не так давно бристольские математики применили шорткат Эйлера к 45 мостам, пересекающим сложную систему рек и каналов, протекающих через этот город. Если в Кёнигсберге было два острова, в Бристоле их три – Спайк-айленд, Сент-Филипс и Редклифф.
На первый взгляд совершенно неясно, можно ли проложить маршрут обхода всех 45 мостов, но при помощи шортката Эйлера можно увидеть, что число нечетных вершин на схеме, которая изображает участки суши, соединенные мостами, достаточно мало, чтобы такой маршрут мог существовать. Первый маршрут обхода открытых для пешеходов мостов Бристоля составил в 2013 году доктор Тило Гросс, бывший преподаватель прикладной математики Бристольского университета. «Когда я нашел решение, я, естественно, не мог не пройти по этому маршруту, – говорит он. – Первая прогулка по мостам заняла 11 часов; длина маршрута была около 53 километров».
Собственно говоря, шорткат Эйлера помог и мне, когда я в молодости сдавал психометрический тест при поступлении на работу. В тесте было несколько сетей, которые соискатель должен был начертить, не отрывая карандаш от бумаги и не проводя ни одной линии больше одного раза. Подразумевалось, что это возможно, и создавалось впечатление, что составители теста хотели проверить способность соискателей справляться с такими заданиями. На самом же деле проверялась честность соискателей, потому что начертить одну из трех сетей было невозможно. Как и в схеме кёнигсбергских мостов, в ней было больше двух вершин, от которых отходило нечетное число ребер.
Разумеется, написанное мной рядом с заданием заумное сочинение, рассказывающее о шорткате Эйлера и причинах, по которым это задание невозможно выполнить, не имело большого успеха. Работу я не получил.
Человеческая эвристика
Великим достижением Эйлера было решение сосредоточиться именно на том аспекте карты Кёнигсберга, который был важен для решения этой задачи. Не имело значения, какое расстояние нужно было пройти или как выглядели мосты. Главным в этом решении было отбрасывание лишней информации и сохранение только необходимых для составления маршрута аспектов карты. Идея отсеивания несущественной информации лежит в основе многих шорткатов. Именно она является ключевым элементом того, как человек использует эвристику – игнорирует или огрубляет информацию, будь то осознанно или бессознательно, чтобы упростить решаемую задачу и уменьшить объем необходимой для ее решения мыслительной деятельности. Людям часто приходится принимать решения за ограниченное время или с помощью ограниченных мыслительных ресурсов; поэтому нам необходимо находить эффективные способы выделения именно тех аспектов задачи, которые помогают ее решить, а не приводят к ненужному расходу драгоценного умственного пространства.
В революционной работе психологов Амоса Тверски и Даниэля Канемана были определены три основные стратегии, которые человек использует в качестве мысленных шорткатов к принятию решений. Мы используем идею паттернов, объединяющих разные события, – это явление они называют репрезентативностью. Оно, несомненно, помогает мне в математике, избавляя от необходимости заново обдумывать уже рассмотренные задачи. Вторая стратегия называется привязкой и корректировкой. Это процесс, отталкивающийся от некой исходной информации, уже понятной или известной, которая служит точкой привязки: мы сравниваем с ней другие ситуации. Наконец, есть эвристическая стратегия доступности, которая предполагает использование локальных знаний для оценки более общих ситуаций [118].
Очевидно, две последние стратегии склонны порождать предвзятость, потому что в общем случае у нас не бывает ни очень надежных точек привязки, ни по-настоящему репрезентативных локальных знаний. В чрезвычайно влиятельной книге Канемана об ограничениях человеческой эвристики под названием «Думай медленно… решай быстро» [119] приводятся примеры того, как суждение отвечающего на вопрос можно исказить, всего
