Но оказывается, что в математике существует и еще более глубокий уровень неизвестного. Даже если бы у нас был компьютер бесконечной мощности и бесконечного быстродействия, и тогда оставались бы вещи, которых мы никогда не узнаем. Одна теорема, доказанная в ХХ в., открыла нам пугающую возможность того, что даже такой компьютер бесконечной мощности может никогда не узнать, справедлива ли моя гипотеза PORC. Эта так называемая теорема Гёделя о неполноте потрясла математику до основания. Возможно, эти гипотезы и справедливы, но мы никогда не сможем доказать их в рамках аксиоматической системы нашей математики. Гёдель доказал, что в рамках любой аксиоматической системы математики существуют математически истинные утверждения, истинность которых невозможно доказать в рамках той же аксиоматической системы. Математическое доказательство существования чего-то, что не может быть доказано, – математика за гранью.
Когда я узнал об этой теореме в университете, она сильно потрясла меня. Несмотря на физические ограничения моего собственного мозга или мозга Вселенной, я, по-видимому, вырос в уютном убеждении, что по меньшей мере теоретически где-то существует доказательство, которое покажет, истинна или ложна моя гипотеза PORC, истинна или ложна гипотеза Римана. Один из моих героев, венгерский математик Пал Эрдёш, всегда с нежностью отзывался о доказательствах из Книги – так Эрдёш называет свод, где Бог хранит самые изящные доказательства всех математических теорем. Задача математика состоит в открытии доказательств из Книги. Как пошутил Эрдёш на лекции, которую он читал в 1985 г., «не обязательно верить в Бога, но нужно верить в Книгу». Сам Эрдёш сомневался в существовании Бога и называл его «Верховным фашистом», который вечно прячет от него то носки, то венгерский паспорт. Но мне кажется, что большинство математиков было согласно с метафорой Книги. Однако из того доказательства, о котором я узнал на университетской лекции по математической логике, следовало, что в Книге не хватает некоторых страниц – страниц, которых нет даже у «Верховного фашиста».
Открытие существования математических утверждений, лежащих за пределами доказательств, было вызвано пониманием того, что одно из геометрических положений, которое Евклид использовал в качестве аксиомы, на самом деле не столь аксиоматично, как принято было думать.
Аксиома – это предпосылка или отправная точка любой последовательности логических рассуждений. В общем случае считается, что аксиома выражает некую самоочевидную истину, справедливость которой общепризнанна и не нуждается в доказательстве. Например, я верю, что если взять два числа, то в каком бы порядке я их ни складывал, я всегда получу один и тот же ответ. Если взять число 36 и прибавить к нему 43, ответ будет тем же, что и если взять 43 и прибавить 36. Можно спросить, откуда я знаю, что это всегда будет так. Может быть, если взять действительно большие количества объектов и сложить их, произойдет что-нибудь странное. Вот как работает математика: она производит дедуктивные выводы о числах, которые удовлетворяют этому правилу. Если тот способ, которым мы считаем объекты во Вселенной, дает какие-нибудь странные результаты, мы должны просто признать, что та математика, которую мы разработали на основе этой аксиомы, неприменима к тому, как ведут себя физические числа во Вселенной. Тогда нам нужно разработать новую теорию чисел, основанную на числах, удовлетворяющих другому фундаментальному набору аксиом.
Хотя многие из аксиом, которые Евклид использовал при развитии своей геометрической теории, казались самоочевидными истинами о геометрии Вселенной, одна из них постепенно стала вызывать у математиков все более серьезные подозрения.
Постулат о параллельных утверждает, что если имеются прямая и точка, не принадлежащая этой прямой, то через эту точку может быть проведена только одна прямая, параллельная первой прямой. Этот постулат несомненно кажется очевидным, если чертить геометрические фигуры на плоском листе. Эта аксиома – одна из тех, на которых основано евклидово доказательство того, что сумма углов треугольника равна 180°. Любая геометрия, в которой справедлив постулат о параллельных, безусловно порождает треугольники, обладающие этим свойством. Но открытые в XIX в. новые типы геометрий, в которых не существует параллельных прямых или могут быть проведены несколько параллельных прямых, привели математиков к пониманию того, что евклидова геометрия – всего лишь одна из множества разных возможных геометрий.
Например, если взять поверхность сферы с ее искривленной геометрией, то линии, лежащие на этой поверхности, будут не прямыми, а изогнутыми. Если взять две точки на поверхности Земли, то, как известно любому, летавшему через Атлантику, кратчайший путь между этими двумя точками не соответствует прямой, которую можно прочертить на плоской карте. Это связано с тем, что линия, соединяющая эти две точки, есть часть окружности, подобной меридиану, делящему сферу на две в точности равные половины. Действительно, если одна из наших точек совпадает с Северным или Южным полюсом, то интересующая нас линия будет отрезком меридиана. Все линии в этой геометрии являются отрезками меридианов, перемещаемыми по поверхности сферы так, чтобы они проходили через наши две точки. Их называют дугами большого круга. Но если теперь взять третью точку, не принадлежащую данному большому кругу, то через нее нельзя провести большой круг, который не пересекался бы с первым большим кругом. Итак, мы получили геометрию, в которой не существует параллельных линий. Соответственно, любое доказательство, основанное на постулате о параллельных, в такой новой геометрии может не быть истинным. Возьмем доказательство того, что сумма углов треугольника равна 180°. Это утверждение выведено в геометрии, в которой справедлив постулат о параллельных. Но в нашей сферической геометрии он не работает. И действительно, в этой геометрии существуют треугольники, сумма углов которых превышает 180°. Возьмем Северный полюс и две точки на экваторе. Два угла при экваторе уже дают в сумме 180°, так что сумма всех трех углов треугольника должна быть больше 180°.
Треугольник, сумма углов которого больше 180°
Были открыты и другие геометрии, в которых через одну точку можно провести не одну, а много параллельных прямых. В таких геометриях, называемых гиперболическими, сумма углов треугольника меньше 180°. Эти открытия не отменили истинности никаких доказательств Евклида. Это прекрасный пример того, почему математические открытия лишь обогащают, а не перечеркивают знание, существовавшее до них. Но появление этих новых геометрий в начале XIX в. вызвало определенное беспокойство. Некоторые математики даже считали, что геометрия, не удовлетворяющая евклидовой аксиоме о параллельных прямых, должна содержать какое-то противоречие, которое в конце концов заставит отбросить ее как невозможную. Но дальнейшие исследования показали, что наличие каких-либо противоречий, присущих новым геометриям, означало бы, что противоречие существует и в основе геометрии Евклида.
Такая мысль казалась еретической. Евклидова геометрия прошла испытание временем и не обнаружила никаких противоречий за 2000 лет. Но погодите… что-то подобное мы уже слышали от естествоиспытателей. Уж математика-то должна быть способна доказать, что евклидова геометрия не порождает противоречий. Мы не можем просто считать, что, раз что-то успешно работало до этого момента, значит, все в порядке. Так делают естественники из лаборатории напротив. Мы, математики, должны быть способны доказать, что наша область свободна от противоречий.
Как называется этот раздел?
Когда в конце XIX в. в математической теории множеств были получены странные результаты, которые, по-видимому, порождали неразрешимые парадоксы, математики стали относиться к такой необходимости доказательства отсутствия противоречий в своей области более серьезно. Многие из таких парадоксов придумал британский философ Бертран Рассел. Он поставил перед математическим сообществом задачу о множестве всех множеств, собственными элементами которых не являются они сами. Вопрос сводился к тому, является ли это новое множество элементом самого себя. Множество может быть его элементом, только если оно не содержит само себя в качестве элемента. Но, как только мы вводим это множество в число его же элементов, оно (конечно же) внезапно становится множеством, содержащим само себя в качестве элемента. Черт! Парадокс казался неразрешимым, и в то же время такая конструкция была не столь уж отлична от тех множеств, которыми математики могли заниматься всерьез.
Рассел предложил более прозаические, бытовые примеры такого рекурсивного парадокса. Например, он представил себе остров, на котором действует закон, согласно которому цирюльник должен брить всех тех, кто не бреется сам, – и не имеет права брить никого другого. Беда в том, что такой закон порождает парадокс: может ли цирюльник брить самого себя? Нет, так как ему можно брить только тех, кто не бреется сам. Но тогда он попадает в категорию тех, кого должен брить цирюльник. Снова черт! Цирюльник играет здесь роль того множества, которое пытался определить Рассел, – множества всех множеств, которые не являются элементами самих себя.
