Рассел предложил более прозаические, бытовые примеры такого рекурсивного парадокса. Например, он представил себе остров, на котором действует закон, согласно которому цирюльник должен брить всех тех, кто не бреется сам, – и не имеет права брить никого другого. Беда в том, что такой закон порождает парадокс: может ли цирюльник брить самого себя? Нет, так как ему можно брить только тех, кто не бреется сам. Но тогда он попадает в категорию тех, кого должен брить цирюльник. Снова черт! Цирюльник играет здесь роль того множества, которое пытался определить Рассел, – множества всех множеств, которые не являются элементами самих себя.
Из всех примеров таких парадоксов мне, наверное, больше всего нравится загадка об описании чисел. Представьте себе, что вы рассматриваете все числа, которые можно определить, используя менее 20 слов, взятых из «Оксфордского словаря английского языка»[113]. Например, число 1729 можно определить как «наименьшее число, которое может быть записано в виде суммы двух кубов двумя разными способами». Поскольку Оксфордский словарь содержит конечное количество слов, а мы можем использовать не более 20 слов, определить таким образом все числа невозможно, так как количество чисел бесконечно, а количество фраз, содержащих менее 20 слов, конечно. Поэтому должно существовать число, определяемое как «наименьшее число, которое невозможно определить, используя менее двадцати слов из Оксфордского словаря». Но погодите… Я ведь только что определил его, использовав менее 20 слов. Черт!
Естественный язык легко порождает парадоксальные утверждения. Простое соединение слов в предложение не гарантирует ни осмысленности, ни истинности. Но придуманное Расселом множество всех множеств, которые не содержат самих себя, вызывало тревогу тем, что оно было очень близко к тем объектам, математические определения которых нам могут потребоваться. В конце концов математики придумали, как обойти эту парадоксальную ситуацию, – для этого потребовалось уточнить интуитивное представление о множестве, но вся эта история оставила после себя неприятный привкус. Сколько еще неожиданностей таится в глубинах здания математики? Когда в 1900 г. великого немецкого математика Давида Гильберта попросили выступить на Международном математическом конгрессе, он решил очертить 23 величайшие нерешенные задачи, с которыми предстояло иметь дело математикам ХХ в. Доказательство отсутствия в математике противоречий было вторым пунктом в его списке.
В своей речи Гильберт решительно провозгласил главную, по мнению многих, мантру математики: «Эта убежденность в разрешимости любой математической задачи является мощным стимулом для работника. Мы слышим внутри себя вечный зов. Вот задача. Найди ее решение. Ты можешь найти его при помощи чистого разума, ибо в математике не существует “ignorabimus”[114]». То есть в математике нет ничего такого, чего мы знать не можем. Смелое заявление.
Тем самым Гильберт давал отповедь разросшемуся в конце XIX в. движению, которое утверждало, что наши возможности понимания Вселенной ограниченны. В 1880 г., выступая в Берлинской академии наук, выдающийся физиолог Эмиль Дюбуа-Реймон очертил те семь загадок природы, которые, по его мнению, были непознаваемы, отнеся их к категории «ignoramus et ignorabimus»[115]. То, чего мы не знаем и никогда не будем знать.
В свете моих попыток понять, какие вопросы могут быть непознаваемыми, интересно сравнить мой список с семью загадками Дюбуа-Реймона:
1. Истинная природа вещества и силы.
2. Происхождение движения.
3. Происхождение жизни.
4. Кажущееся телеологическое устройство природы.
5. Происхождение простых ощущений.
6. Происхождение разума и языка.
7. Вопрос о свободе воли.
Дюбуа-Реймон считал, что пункты 1, 2 и 5 истинно трансцендентны. Первые два все еще в значительной степени составляют сущность вопросов, которые мы рассматривали на нескольких первых «рубежах». Телеологическое устройство природы относится к вопросу о том, почему Вселенная, по-видимому, так хорошо приспособлена для существования жизни, – и этот вопрос мучает нас до сих пор. Лучший из имеющихся у нас возможных ответов на него – это существование множественных вселенных. Последние три пункта были темой предыдущего «рубежа», на котором мы рассматривали пределы человеческого разума. Пожалуй, сколько-нибудь значительных успехов мы достигли только в разрешении загадки происхождения жизни. Несмотря на потрясающие успехи научного прогресса, достигнутые за последние сто лет, остальные шесть задач по-прежнему могут оказаться непознаваемыми, как и полагал Дюбуа-Реймон.
Но Гильберт не собирался включать математические утверждения в список загадок Дюбуа-Реймона. Тридцать лет спустя, 7 сентября 1930 г., когда Гильберт вернулся в свой родной Кенигсберг, чтобы получить звание его почетного гражданина, он закончил свою благодарственную речь следующим боевым кличем, обращенным к математикам:
«Ignorabimus» не существует ни для математиков, ни, по моему мнению, для естественных наук […] По моему мнению, истинная причина, по которой никому до сих пор не удалось найти неразрешимой задачи, состоит в том, что неразрешимых задач не существует. В противоположность нелепому «ignorabimus» наш лозунг утверждает: «Wir müssen wissen. Wir werden wissen»[116].
Однако Гильберт не знал о поразительном заявлении, которое было сделано на конференции, проходившей в том же самом Кенигсберге за день до этой церемонии. «Ignorabimus» все-таки существует в математике. 25-летний австрийский логик по имени Курт Гёдель доказал невозможность доказать, что математика не содержит противоречий. Он пошел даже дальше. В аксиоматической системе любой математики существуют истинные утверждения о числах, истинность которых невозможно доказать в рамках этой же аксиоматической системы. Лозунг Гильберта – «Wir müssen wissen. Wir werden wissen» – в конце концов занял подобающее ему место на надгробии самого Гильберта. А математике пришлось иметь дело с тем фактом, что и в ней существуют загадки, которые мы никогда не сможем разгадать.
Следующее предложение ложно
Название этого раздела истинно.
Именно из рекурсивных утверждений, подобных тому, которое я нашел в своей хлопушке на прошлое Рождество, Гёдель вывел свое обескураживающее доказательство ограниченности математики.
Хотя утверждения, сформулированные на естественном языке, могут порождать парадоксы, мы привыкли ожидать, что утверждение, сделанное о числах, может быть либо истинным, либо ложным. Гёделя заинтересовал вопрос о возможности использования рекурсивности в математических утверждениях. Поставленная Гильбертом задача уже содержала встроенный рекурсивный элемент: он хотел построить математически неопровержимое рассуждение, доказывающее, что математика не содержит противоречий. Эта задача уже требует рассмотрения математикой самой себя в поисках доказательства того, что в ней не могут внезапно появиться доказательства истинности двух взаимоисключающих утверждений.
Гёдель хотел показать, что в рамках любой системы аксиом теории чисел всегда будут существовать истинные утверждения о числах, которые невозможно доказать на основе этих аксиом. Стоит отметить, что можно попытаться определить, как работают эти числа, установив другую систему аксиом. Гильберт надеялся, что математики сумеют построить единую аксиоматическую систему, исходя из которой можно было бы доказать все математические истины.
Гёделю удалось разрушить эту надежду. Фокус, который использовал Гёдель, заключался в следующем: он разработал код, в рамках которого каждому осмысленному утверждению о числах был присвоен свой кодовый номер. Собственно, похожая идея используется в технологии, позволяющей мне печатать этот текст. Слова, которые я использую для изложения истории Гёделя, преобразуются в последовательности чисел, которые представляют те буквы, которые я печатаю. Например, в десятичном ASCII-представлении слово «Гёдель» изображается числом 195184228229235252[117]. Достоинство кодировки, придуманной Гёделем, состоит в том, что она позволила математике говорить о самой себе.
В кодировке Гёделя каждая из аксиом, которые мы выбираем для выражения теории чисел, – те утверждения, из которых мы выводим математические теоремы, – получает свой собственный кодовый номер. Например, аксиома «Если А = В и В = С, то А = С» имеет некоторый кодовый номер. Но свой собственный кодовый номер также получает и каждое из утверждений, которые можно вывести из этих аксиом, например утверждение «Существует бесконечное количество простых чисел». Даже если утверждение ложно, например «17 – четное число», ему все равно присваивается кодовый номер.
Эти кодовые номера позволили Гёделю рассуждать о доказуемости того или иного утверждения в рамках данной системы на языке теории чисел. Основная идея состояла в том, чтобы получить такую кодировку, в которой кодовый номер доказуемого утверждения обладал бы делимостью на кодовые номера соответствующих аксиом. На самом деле система была более сложной, но такое упрощение поможет нам ее понять.
