растянуть его вдоль малой образующей (сделать бублик толще) в отношении
TR/
Tr = (
r/
R)∙ln(
R/
r). Поскольку логарифм является медленной функцией по сравнению со степенной, то при
R»
r TR/
Tr ~
r/
R.
Силы TR и Тг направлены вдоль поверхности тора нормально к малой и к большой образующим тора соответственно. Если сравнить силы натяжения на единицу длины σR = TR/(2πг) и σr = Tr/(2πR), то окажется, что натяжения поверхности тора по обоим направлениям практически равны (но вдоль длинной образующей натяжение все-таки немного (логарифмически) больше).
Т.е. видно, что «тонкий» тор (пер R >> r) будет разорван электростатическими силами, когда разрывающее усилие превзойдет предел прочности сплошного тора на разрыв:
kQ2/ 4π2R2) > σπr2,
где σ — предел прочности материала тора на разрыв.
Этот критерий на разрыв кольца легко получить методом размерностей с точностью до коэффициента.
Воробьев П.В.
• ВОПРОС 84: Расскажите подробнее о дискретизации и квантовании цифрового сигнала.
ОТВЕТ: В последнее время в технике идет переход на цифровые методы обработки информации. Это связано с тем, что цифровую информацию легче хранить (появились дешевые и удобные устройства для хранения информации, такие как жесткие диски компьютеров или лазерные диски), а также с тем, что цифровую информацию легко передавать по современным линиям связи практически без потерь.
Аналоговый сигнал — это в простейшем случае число x(t), зависящее от времени t. При записи на носитель информации или воспроизведении с него сигнал неизбежно искажается различного рода шумами. Восстановить искаженный сигнал (убрать шумы) нельзя. Можно, конечно, пытаться подавлять шумы, используя некоторую дополнительную информацию (например, можно подавлять частоты, в которых сосредоточены шумы), но при этом мы теряем также и информацию о самом сигнале, т. е. опять же вносим искажения.
При оцифровке сигнала x(t) производятся две операции — дискретизация и квантование. Дискретизация — это замена сигнала x(t) с непрерывным временем t на дискретизованный сигнал — последовательность чисел x(t1) для дискретного набора моментов времени t1, t2…, ti… (чаще всего интервалы между моментами времени Δt = ti — ti-1 берутся одинаковыми). При дискретизации, конечно, часть информации о сигнале теряется. Но если сигнал x(t) за время Δt не сильно изменяется, числа x(ti) и x(ti-1) близки друг к другу, то поведение x(t) между временами ti и ti-1 нетрудно восстановить (сигнал практически линейно изменяется во времени от x(ti-1) до x(ti). При дискретизации мы теряем частотные составляющие сигнала с частотами порядка f ~ 1/Δt и выше.
При дискретизации время из аналогового как бы становится цифровым — моменты времени ti можно нумеровать, кодировать. Производится замена непрерывного времени t на нечто, которое может принимать не все значения, а только некоторые, а именно t1, t2,…, ti… Квантование сигнала — это нечто похожее, только данная процедура производится не со временем, а со значением сигнала х. Выбирается некий набор возможных значение сигнала x1, х2,…, хn… и каждому x(ti) сопоставляется ближайшее число из этого набора.
Приведем конкретный пример дискретизации и квантования: пусть сигнал x(t) такой, что x(t) = t1/2, шаг дискретизации Δt = 0.1 (т. е. набор моментов времени t = 0, 0.1, 0.2, …), значение сигнала х мы будем записывать с точностью до одной сотой (т. е. набор значений сигнала х = 0, ±0.01, ±0.02…). После дискретизации сигнала получим
Учитывая точность хранения значений х, после квантования получим
При дискретизации мы теряем высокие (f > 1/Δt) частоты сигнала, при квантовании мы теряем маленькие (меньше Δх = xn — xn-1) изменения сигнала. Кроме того, получившийся после квантования сигнал xn(t1) отличается от реального (но уже дискретизованного) сигнала x(t1) на величину порядка шага квантования (или кванта) Δх. Это различие носит название шума квантования, и оно принципиально неустранимо.
Для примера, описанного выше, имеем
Иногда, чтобы внести в сигнал минимальные искажения, квантование делают так, что интервалы Δх = xn — xn-1 делают неравными (нелинейное квантование). Например, часто делают Δх маленьким при малом значении сигнала, чтобы относительная погрешность (шум квантования/сигнал) не становилась очень большой при малых х. Например, принимают Δх = εx, где ε — маленькое число (так называемое логарифмическое квантование). Нелинейное квантование позволяет получить при приемлемой точности хранения сигнала большой динамический диапазон (отношение максимального значения сигнала к минимальному или к величине кванта).
Перевод аналогового сигнала в цифровой выполняется специальными устройствами — аналогово-цифровыми преобразователями (АЦП). Основными параметрами АЦП являются частота дискретизации f (f = 1/Δt) и разрядность АЦП (количество двоичных разрядов, в которых хранится значение сигнала х, число возможных значений квантованного сигнала равно 2N, где N — число разрядов). Чем выше разрядность АЦП, с тем большей точностью можно хранить сигнал (Δх мало), но тем медленнее он работает (больше Δt).
Устройство, производящее обратную операцию (чтобы передать оцифрованный сигнал на какое-нибудь воспроизводящее устройство (динамик, телевизор, приводной мотор и т. д.)), называется цифро-аналоговым преобразователем (ЦАП). Принципиальные схемы АЦП и ЦАП следует искать в книжках по радиоэлектронике (о принципах работы некоторых схем смотрите в книге И.П.Золотухина, А.А.Изюмова, М.М.Райзмана «Цифровые звуковые магнитофоны» (Томск, Радио и связь, Томский отдел, Массовая радиобиблиотека, вып. 1153, 1990).
Приведем для справки параметры известного стандарта CD: частота дискретизации f = 44.1 кГц, линейное квантование, 16 двоичных разрядов.
Цифровую информацию можно передать по линии связи практически без потерь. При передаче сигнал сначала превращается в аналоговый, пересылается, после чего опять оцифровывается. Если линия связи вносит искажения в сигнал меньше чем шаг квантования, то после передачи и оцифровки полученный оцифрованный сигнал не будет отличаться от начального. Обычно же информация передается с помощью двоичных импульсов, т. е. для восстановления сигнала необходимо лишь решать, передали 1 или 0. При передаче двоичной информации по линии связи естественно слегка смещается время прибытия импульса, но если смещение меньше расстояния между импульсами, то место импульса в общей последовательности легко восстанавливается. Дополнительную защиту дает применение кодов с устранением ошибок (коды Хэмминга, Рида-Соломона и др.).
Степанов М.Г.
• ВОПРОС № 85: Сколько лет астрономии?
ОТВЕТ: Астрономия — одна из самых древних наук. Вначале астрономия носила религиозный и прикладной характер. Первые «каменные календари», где отмечались точки восхода и захода Солнца в дни равноденствий и солнцестояний, датируются около
