(7)
При δ —> w0 частота осцилляций р —> 0, дробь > sin pt/p — > t, cos pt —> 1, и решение (7) переходит в (6). Видно, что хотя формально осцилляции (т. е. члены с синусом и косинусом) в решении (7) сохраняются всегда, но частота их (именно, р) становится столь малой, что на не слишком больших временах (много меньших, чем период колебаний τ = 2π/p >>1) они незаметны. Т. е. отличие δ от w0о можно заметить лишь через очень большое время, и тем большее, чем меньше эта разность, что физически разумно.
Задача: "Возле жесткой стенки (но достаточно далеко) на горизонтальном полу лежит шар массы M, на перпендикуляре между этим шаром и стенкой лежит шар массы m (m < M). Большой шар начинает двигаться точно к стенке с какой-то скоростью. Малый шар начинает биться между стенкой и большим шаром (все соударения абсолютно жесткие и лобовые). Доказать что при M/m > оо, N/√(M/m) = —> π где N — число соударений малого шара с большим и стенкой."
Утверждается что при:
M/m = 1, N = 3 (всем ежам ясно);
M/m = 100, N = 31;
M/m = 10000, N = 314;
M/m = 1000000, N = 3141,
ну и т. д.
Решение.
Рассмотрим процесс упругого соударения двух шаров. Введем некоторые обозначения. Скорость большего шара обозначим через V1 малого — через v2. Эти скорости — алгебраические величины, т. е. они могут быть любого знака, смотря по тому, в какую сторону движется шар. Так, в начальный момент времени (до соударений) V1(0) < 0, v2(0) = 0. Отношение масс шаров M/m обозначим через x.
Известно, что в системе центра масс (Ц.М.) системы двух шаров столкновение заключается в том, что шары меняют свои скорости на противоположные. Поэтому обозначая скорости шаров в системе Ц.М. до столкновения через, соответственно, V~1- и v~2-, после столкновения — соответственно, V~1+ и v~2+, а скорость самого Ц.М. — через vc, получаем:
Т.е., подставляя (1) в (2), для скоростей шаров после соударения получаем:
После столкновения шаров легкий шар (второй) еще сталкивается со стенкой. При этом скорость тяжелого шара не меняется, а скорость легкого меняется на противоположную: v2+ |-> v2+. Таким образом, если до k-го столкновения шары имели скорости, соответственно, V1(k) и, v2(k), то перед следующим, (л + 1) — м столкновением скорости их будут:
Перепишем эти соотношения в терминах параметра х = M/m:
Станем теперь в каждый момент времени характеризовать состояние системы вектором
Получаем дин. систему:
с начальным состоянием
Значит, вообще
Обозначим матрицу
через
Т и займемся ее спектральным анализом.
Собственные числа Т находятся из секулярного уравнения
Корни его суть λ± = х — 1 ± 2i√x, а собственные векторы, им отвечающие — суть векторы
Поэтому матрица
Т диагонализуется в базисе {e
->±}, т. е.
Значит, эволюция нашей системы описывается соотношением:
Перемножая матрицы, получим:
Рассмотрим первую компоненту этого вектора, т. е. скорость тяжелого шара на n-м шаге:
Т.к. λ_ = λ-+, то и λn_=
а значит,
Далее, имеем: λn+ = (х — 1 + 2i√x)n = (х + 1)neinφ, где φ = arctg (2√x/(x-1)). Поэтому
V1(n) = V1cos (n∙arctg (2√x/(x-1))).
Теперь мы в состоянии решить поставленную изначально физическую задачу. В самом деле, нам необходимо определить асимптотику числа соударений N легкого шара о тяжелый и стенку при условии х —> оо. Чем определяется это число N для любого конечного значения параметра х? Взаимодействие шаров можно представлять себе следующим образом: в начальный момент времени тяжелый шар движется к стенке со скоростью V1. При этом он сначала замедляется по мере того, как легкий шар отбирает у него энергию, затем тяжелый шар останавливается, и наконец, процесс идет в обратном направлении, т. е. легкий шар начинает отдавать обратно запасенную энергию, разгоняя таким образом тяжелый шар до его начальной скорости (поскольку потери энергии отсутствуют). Значит, если мы определим номер шага n, на котором выполняется условие
V1(n) = — V1
то число соударений N будет равно 2n (поскольку учитываются и соударения легкого шара со стенкой тоже, а соударения легкого шара с тяжелым шаром и со стенкой чередуются). Но условие (3) означает
При х —> оо дробь
поэтому, раскладывая арктангенс в окрестности нуля в ряд Тейлора, получаем:
Заменяя в последнем асимптотическом равенстве 2n на N и устремляя х к бесконечности, получаем:
N ~ π√x, х —> оо
что и требовалось.
Прибавление. На самом деле в решении есть лакуна. Конечное состояние системы, после последнего столкновения отвечает не обязательно нулевой скорости меньшего шара и скорости — V1 у большего. Такое конечное состояние соответствует случаю, когда последнее столкновение легкого шара происходит с тяжелым шаром, а не со стенкой, и необходимым условием выполнения условия (4) является кратность π числу arctg (2√x/(x-1)). Последнее же условие выполняется далеко не при любом х. В тех случаях, когда условие (4) не выполняется последнее столкновение легкий шар претерпевает со стенкой и катится затем в сторону тяжелого шара, но уже больше не догоняет его из-за того, что скорость его стала меньшей, чем у тяжелого шара. Таким образом максимально строгое условие, налагаемое на n будет:
|V1(n)| > |v2(n)|. (5)
Из выражения для V-> (n) найдем v2(n)
Поэтому условие (5) превращается в:
