Факторная переменная х переводится в стандартизированный масштаб по формуле:
где xij – значение переменной xj в i-том наблюдении;
G(xj) – среднеквадратическое отклонение факторной переменной xi;
Результативная переменная у переводится в стандартизированный масштаб по формуле:
где G(y) – среднеквадратическое отклонение результативной переменной у.
Стандартизированные частные коэффициенты регрессии характеризуют, на какую долю своего среднеквадратического отклонения G(y) изменится результативная переменная у при изменении факторной переменной х на величину своего среднеквадратического отклонения G(x), при условии постоянства всех остальных факторных переменных, включённых в модель регрессии.
Стандартизированный частный коэффициент регрессии характеризует степень непосредственной или прямой зависимости между результативной и факторной переменными. Но в связи с тем, что между факторными переменными, включёнными в модель множественной регрессии, существует зависимость, факторная переменная оказывает не только прямое, но и косвенное влияние на результативную переменную.
Частный коэффициент детерминации используется для характеристики степени косвенного влияния факторной переменной х на результативную переменную у:
где βi– стандартизированный частный коэффициент регрессии;
r(xixj) – коэффициент частной корреляции между факторными переменными xi и xj.
Частный коэффициент детерминации характеризует, на сколько процентов вариация результативной переменной вызвана вариацией i-ой факторной переменной, включённой в модель множественной регрессии, при условии постоянства всех остальных факторных переменных, включённых в модель регрессии.
Стандартизированные частные коэффициенты регрессии и частные коэффициенты эластичности могут давать различные результаты. Это несовпадение может быть объяснено, например, слишком большой величиной среднеквадратического отклонения одной из факторных переменных или эффектом неоднозначного воздействия одной из факторных переменных на результативную переменную.
30. Частные коэффициенты корреляции для линейной модели регрессии с двумя факторными переменными
Частные коэффициенты корреляции используются для оценки зависимости между результативной переменной и одной из факторных переменных при условии постоянства всех остальных факторных переменных, включённых в модель множественной регрессии. Таким образом, частный коэффициент корреляции позволяет элиминировать влияние на результат всех факторных модельных переменных кроме одной.
Рассчитаем частные коэффициенты корреляции на основе линейной модели регрессии с двумя факторными переменными.
Общий вид модели двухфакторной регрессии:
yi=β0+β1xi+β2zi+εi,
где yi – результативная переменная,
xi – первая факторная переменная;
zi – второй факторная переменная;
β0, β1, β2– неизвестные коэффициенты модели регрессии;
εi – случайная ошибка модели регрессии.
Для определения степени зависимости между результативной переменной yiи факторной переменной xi при постоянном значении факторной переменой zi и результативной переменной yi и факторной переменной zi при постоянном значении факторной переменной xi используются частные коэффициенты корреляции первого порядка, потому что они позволяют элиминировать влияние только одного признака. Порядок частного коэффициента корреляции характеризуется количеством признаков, влияние которых устраняется. Для модели парной регрессии рассчитывается коэффициент корреляции нулевого порядка.
Коэффициент частной корреляции между результативной переменной yi и факторной переменной xiпри постоянном значении факторной переменой ziрассчитывается по формуле:
Коэффициент частной корреляции между результативной переменной yi и факторной переменной ziпри постоянном значении факторной переменной xi рассчитывается по формуле:
Кроме влияния на результативную переменную, частный коэффициент корреляции позволяет рассчитать степень зависимости между факторными переменными.
Коэффициент частной корреляции между факторной переменной xi и факторной переменной ziпри постоянном значении результативной переменной yi рассчитывается по формуле:
Рассмотренные коэффициенты частной корреляции изменяются в пределах от минус единицы до единицы.
Частные коэффициенты корреляции также можно рассчитать через коэффициент множественной детерминации.
Коэффициент частной корреляции между результативной переменной yi и факторной переменной xi при постоянном значении факторной переменой zi:
где
– множественный коэффициент детерминации двухфакторной модели регрессии.
Данный коэффициент корреляции изменяется в пределах от нуля до единицы.
При проверке значимости частных коэффициентов корреляции выдвигается основная гипотеза о незначимости данных коэффициентов, например:
Н0:ryx/z=0.
Тогда конкурирующей или альтернативной гипотезой будет гипотеза вида:
Н1:ryx/z≠0.
Проверка выдвинутых гипотез осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента. Критическое значение t-критерия tкрит(а,n-h) определяется по таблице распределения Стьюдента, где а – уровень значимости, (n-h) – число степеней свободы. Для модели двухфакторной регрессии число степеней свободы равно (n-3).
Наблюдаемое значение t-критерия рассчитывается по формуле (на примере частного коэффициента корреляции между результативной переменной yi и факторной переменной xi при постоянном значении факторной переменой zi):
Если |tнабл|≤tкрит, то основная гипотеза не отклоняется, и частный коэффициент корреляции является незначимым. Следовательно, между переменными х и у при постоянном значении переменой z корреляционная связь отсутствует.
Если |tнабл|>tкрит, то основная гипотеза отклоняется в пользу конкурирующей гипотезы с вероятностью совершения ошибки первого рода а. В этом случае можно считать, что между переменными х и у при постоянном значении переменной z существует корреляционная зависимость.
Частные коэффициенты корреляции позволяют сделать вывод об обоснованности включения переменной в модель регрессии. Если значение частного коэффициента корреляции мало или коэффициент незначим, то связь между данной факторной переменной и результативной переменной либо очень слаба, либо вовсе отсутствует, поэтому фактор можно исключить из модели без ущерба для её качества.
31. Частные коэффициенты корреляции для модели множественной регрессии с тремя и более факторными переменными
Частные коэффициенты корреляции для модели множественной регрессии с тремя и более факторными переменными позволяют определить степень зависимости между результативной переменной и одной из факторных переменных при постоянстве остальных факторных переменных, включённых в модель.
Для модели множественной регрессии с тремя факторными переменными рассчитываются частные коэффициенты, как первого, так и второго порядка.
Общий вид модели трёхфакторной регрессии:
yi=β0+β1x1i+β2x2i+β3x3i+εi,
где yi – результативная переменная,
x1i – первая факторная переменная;
x2i – второй факторная переменная;
x3i – третья факторная переменная;
β0,β1,β2,β3 – неизвестные коэффициенты модели регрессии;
εi – случайная ошибка модели регрессии.
Частные коэффициенты корреляции первого порядка для модели трёхфакторной регрессии строятся точно так же, как и для модели двухфакторной регрессии.
Частные коэффициенты корреляции второго порядка для модели трёхфакторной регрессии строятся следующим образом.
Частный коэффициент корреляции между результативной переменной у и факторной переменной х1 при постоянстве факторных переменных х2 и х3:
Частный коэффициент корреляции между результативной переменной у и факторной переменной х2 при постоянстве факторных переменных х1 и х3:
