Гиперболическая функция характеризует нелинейную зависимость между результативной переменной yi и факторной переменной xi, однако, данная функция является линейной по оцениваемым параметрам β0 и β1.
Гиперболоид или гиперболическая функция имеет вид:
Данная гиперболическая функция является равносторонней.
В качестве примера эконометрической модели в виде гиперболической функции можно привести модель зависимости затрат на единицу продукции от объёма производства.
Неизвестные параметры β0…βn модели регрессии, нелинейной по факторным переменным, можно найти только после того, как модели будет приведена к линейному виду.
Для того чтобы оценить неизвестные параметры β0…βn нелинейной регрессионной модели необходимо привести её к линейному виду. Суть процесс линеаризации нелинейных по факторным переменным моделей регрессии заключается в замене нелинейных факторных переменных на линейные переменные.
Рассмотрим процесс линеаризации полиномиальной функции порядка n:
Заменим все факторные переменные на линейные следующим образом:
x=c1;
x2=c2;
x3=c3;
…
xn=cn.
Тогда модель множественной регрессии можно записать в виде:
yi=β0+β1c1i+ β2c2i+…+ βncni+εi.
Рассмотрим процесс линеаризации гиперболической функции:
Данная функция может быть приведена к линейному виду путём замены нелинейной факторной переменной 1/x на линейную переменную с. Тогда модель регрессии можно записать в виде:
yi=β0+β1ci+εi.
Следовательно, модели регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ независимых переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, могут быть преобразованы к линейному виду. Это позволяет применять к линеаризованным моделям регрессии классические методы определения неизвестных параметров модели (метод наименьших квадратов), а также методы проверки различных гипотез.
40. Модели регрессии, нелинейные по оцениваемым коэффициентам
Нелинейными по оцениваемым параметрам моделями регрессииназываются модели, в которых результативная переменная yi нелинейно зависит от коэффициентов модели β0…βn.
К моделям регрессии, нелинейными по оцениваемым параметрам, относятся:
1) степенная функция:
2) показательная или экспоненциальная функция:
3) логарифмическая парабола:
4) экспоненциальная функция:
5) обратная функция:
6) кривая Гомперца:
7) логистическая функция или кривая Перла-Рида:
Кривыми насыщения называются показательная, логарифмическая и экспоненциальная функции, т. к. будущий прирост результативной переменной зависит от уже достигнутого уровня функции.
Кривые насыщения применяются для характеристики явлений и процессов, величина роста которых является ограниченной величиной (например, в демографии).
Определение. S-образными кривыми называются кривая Гомперца и кривая Перла-Рида. Данные кривые представляют собой кривые насыщения с точкой перегиба.
S-образные кривые применяются для характеристики явлений, включающий в себя два последовательных процесса – ускорения и замедления достигнутого уровня развития. Подобные явления характерны для демографии, страхования и других областей.
Модели регрессии, нелинейные по оцениваемым коэффициентам, делятся на два класса:
1) модели регрессии, которые можно с помощью преобразований привести к линейному виду;
2) модели регрессии, которые невозможно привести к линейному виду.
Рассмотрим первый класс моделей регрессии.
Показательная функция вида
является нелинейной по коэффициенту β1 и относится к классу моделей регрессии, которые можно с помощью преобразований привести к линейному виду. Данная модель характеризуется тем, что случайная ошибка εi мультипликативно связана с факторной переменной хi.
Данную модель можно привести к линейному виду с помощью логарифмирования:
Log yi=log β0+ хi* logβ1+ logεi.
Для более наглядного представления данной модели регрессии воспользуемся методом замен:
log yi=Yi;
log β0=A;
logβ1=B;
logεi=E.
В результате произведённых замен получим окончательный вид показательной функции, приведённой к линейной форме:
Yi=A+Bхi+E.
Таким образом, можно сделать вывод, что рассмотренная показательная функция является внутренне линейной, поэтому оценки неизвестных параметров её линеаризованной формы можно рассчитать с помощью классического метода наименьших квадратов.
Другим примером моделей регрессии первого класса является степенная функция вида:
Данная модель характеризуется тем, что случайная ошибка βi мультипликативно связана с факторной переменной хi.
Данную модель можно привести к линейному виду с помощью логарифмирования:
lnyi=lnβ0+β1 lnхi + lnεi.
Для более наглядного представления данной модели регрессии воспользуемся методом замен:
ln yi=Yi;
ln β0=A;
lnхi=Xi;
lnεi=E.
В результате произведённых замен получим окончательный вид показательной функции, приведённой к линейной форме:
Yi=A+β1Xi+E.
Таким образом, можно сделать вывод, что рассмотренная степенная функция является внутренне линейной, поэтому оценки неизвестных параметров её линеаризованной формы можно рассчитать с помощью классического метода наименьших квадратов.
Рассмотрим второй класс моделей регрессии, нелинейных по оцениваемым коэффициентам.
Показательная функция вида
относится к классу моделей регрессии, которые невозможно привести к линейной форме путём логарифмирования. Данная модель характеризуется тем, что случайная ошибка βi аддитивно связана с факторной переменной хi.
Степенная функция вида
относится к классу моделей регрессии, которые невозможно привести к линейной форме путём логарифмирования. Данная модель характеризуется тем, что случайная ошибка εi аддитивно связана с факторной переменной хi.
Таким образом, для оценки неизвестных параметров моделей регрессии, которые нельзя привести к линейному виду, нельзя применять классический метод наименьших квадратов. В этом случае используются итеративные процедуры оценивания (квази-ньютоновский метод, симплекс-метод, метод Хука-Дживса, метод Розенброка и др.).
41. Модели регрессии с точками разрыва
Определение. Моделями регрессии с точками разрыва называются модели, которые нельзя привести к линейной форме, т. е. внутренне нелинейные модели регрессии.
Модели регрессии делятся на два класса:
1) кусочно-линейные модели регрессии;
2) собственно модели регрессии с точками разрыва.
Кусочно-линейные модели регрессии характеризуются тем, что вид зависимости между результативной переменной и факторными переменными может быть неодинаков в различных областях значений факторных переменных.
В качестве примера кусочно-линейной модели регрессии рассмотрим регрессионную зависимость показателя себестоимости единицы произведённой промышленной продукции (результативная переменная) от показателя объёма промышленного производства за месяц (факторная переменная). Исследуемые показатели связаны линейной зависимостью, т. к. с увеличением показателя объема промышленного производства показатель себестоимости единицы произведённой промышленной продукции снижается, и наоборот.
Но не всегда данная зависимость носит линейный характер. Если основные фонды, которые используются при производстве данной промышленной продукции, являются изношенным, то с увеличением показателя объема промышленного производства показатель себестоимости единицы произведённой промышленной продукции может также увеличиваться.
При условии, что изношенные основные фонды применяются для производства промышленной продукции до того момента, когда объём промышленного производства достигнет заранее определённого значения, можно построить кусочно-линейную модель регрессии. Предположим, что объём промышленного производства равен 500 единицам продукции. Тогда модель примет вид:
y=β0+β1x(x≤500)+β2x(x>500),
где y – себестоимость единицы промышленной продукции;
x – объём промышленного производства за месяц;
