y=β0+β1x(x≤500)+β2x(x>500),
где y – себестоимость единицы промышленной продукции;
x – объём промышленного производства за месяц;
(x≤500) и (x›500) – логические выражения, принимающие значения 1, если они истинны, или 0, если они ложны.
Данная кусочно-линейная модель регрессии зависит от общего свободного члена β0 и углового коэффициента. Угловой коэффициент может быть равен либо β1 (если выражение (x≤500) истинно, т. е. равно единице), либо β2 (если выражение (x›500) истинно, т. е. равно единице).
Значение показателя объёма промышленной продукции, равное 500 единицам, считается точкой разрыва кривой регрессии.
Если же точка разрыва кривой регрессии не задана или её невозможно точно определить, то значение данной точки можно оценить с помощью дополнительного коэффициента, включённого в модель регрессии.
Заменим логические выражения в построенной кусочно-линейной модели регрессии на коэффициент β3. В результате модель примет вид:
y=β0+β1x(x≤β3)+β2x(x>β3).
Собственно модели регрессии с точками разрыва характеризуются скачкообразными изменениями зависимой переменной в нескольких точках кривой регрессии. Кусочно-линейную модель регрессии можно преобразовать в собственно модель регрессии с точками разрыва.
Допустим, что при достижении основными фондами определённого уровня изношенности, себестоимость единицы промышленной продукции резко выросла, а затем продолжила медленно снижаться при условии увеличения объёмов производства данной продукции. В этом случае регрессионная зависимость примет вид:
y=(β0+β1x)(x≤500)+(β3+β2x)(x>500).
В связи с тем, что модели регрессии с точками разрыва являются внутренне нелинейными, то неизвестные параметры данных моделей нельзя оценить с помощью классического метода наименьших квадратов. Для оценки этих параметров применяются итерационные методы нелинейного оценивания и метод максимального правдоподобия.
Если в начале эконометрического моделирования перед исследователем стоит выбор между моделью регрессии, внутренне нелинейной и линейной моделью регрессии (или сводящейся к линейному виду), то предпочтение отдаётся линейным формам моделей.
42. Метод наименьших квадратов для моделей регрессии, нелинейных по факторным переменным
Если модель регрессии является нелинейной по факторным переменным или нелинейной по оцениваемым коэффициентам, но внутренне линейной, то неизвестные коэффициенты данных моделей можно оценить с помощью классического метода наименьших квадратов.
Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для определения неизвестных параметров модели регрессии, нелинейной по факторным переменным.
Параболическая функция второго порядка вида
является моделью регрессии, нелинейной по факторным переменным xi.
Метод наименьших квадратов позволяет получить такие оценки параметров β0,β1 и β2 при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака ỹ от расчетных (теоретических) β минимальна:
В процессе минимизации исходной функции регрессии неизвестными являются только значения коэффициентов β0,β1 и β2, потому что значения результативной и факторной переменных известны из наблюдений. Для определения минимума функции трёх переменных вычисляются частные производные этой функции по каждому из оцениваемых параметров и приравниваются к нулю. Результатом данной процедуры будет стационарная система уравнений.
Составим стационарную систему уравнений для функционала F, не пользуясь методом замен:
После элементарных преобразований стационарной системы уравнений, получим систему нормальных уравнений, позволяющую определить значения неизвестных коэффициентов параболической функции:
Данная система является системой нормальных уравнений относительно параметров
для параболической функции второго порядка.
Полученная система нормальных уравнений является квадратной, т. к. количество уравнений равняется количеству неизвестных переменных, поэтому коэффициенты
можно рассчитать с помощью метода Крамера или метода Гаусса.
Если рассматривать полиномиальную функцию n-ой степени вида
то для определения оценок неизвестных коэффициентов данной модели регрессии методом наименьших квадратов минимизируется функционал F:
Для определения минимума функции нескольких переменных вычисляются частные производные этой функции по каждому из оцениваемых параметров и приравниваются к нулю. Результатом данной процедуры будет стационарная система уравнений:
Решением данной стационарной системы уравнений будут оценки неизвестных коэффициентов полиномиальной функции n-ой степени.
43. Метод наименьших квадратов для моделей регрессии, нелинейных по оцениваемым коэффициентам
Показательная функция вида
является нелинейной по коэффициенту β1 и относится к классу моделей регрессии, которые можно с помощью преобразований привести к линейному виду. Данная модель характеризуется тем, что случайная ошибка εi мультипликативно связана с факторной переменной хi. Следовательно, для определения оценок неизвестных коэффициентов данной модели можно применить классический метод наименьших квадратов.
Данную модель можно привести к линейному виду с помощью логарифмирования:
Log yi=log β0+ хi* logβ1+ logεi.
Для более наглядного представления данной модели регрессии воспользуемся методом замен:
log yi=Yi;
log β0=A;
logβ1=B;
logεi=E.
В результате произведённых замен получим окончательный вид показательной функции, приведённой к линейной форме:
Yi=A+Bхi+E.
Таким образом, мы будем применять метод наименьших квадратов не к исходной форме показательной функции, а к её преобразованной форме.
Для определения неизвестных коэффициентов линеаризованной формы показательной функции методом наименьших квадратов необходимо минимизировать сумму квадратов отклонений логарифмов наблюдаемых значений результативной переменной у от теоретических значений ỹ (значений, рассчитанных на основании модели регрессии), т. е. минимизировать функционал МНК вида:
Оценки неизвестных коэффициентов А и В линеаризованной формы показательной функции находятся при решении системы нормальных уравнений вида:
Данная система является системой нормальных уравнений относительно коэффициентов А и В для функции вида Yi=A+Bхi+E.
Однако основным недостатком полученных МНК-оценок неизвестных коэффициентов моделей регрессии, сводимых к линейному виду, является их смещённость.
44. Методы нелинейного оценивания коэффициентов модели регрессии
Функцией потерь или ошибок называется функционал вида
Также в качестве функции потерь может быть использована сумма модулей отклонений наблюдаемых значений результативного признака у от теоретических значений ỹ:
Функция потерь характеризует потери в точности аппроксимации исходных данных построенной моделью регрессии.
В интересах исследователя минимизировать функцию ошибок. Для этого используются различные методы, однако, их общий недостаток заключается в наличии локальных минимумов. Например, если оценка неизвестного параметра модели регрессии будет немного изменена, то значение функция потерь практически не изменится, но существует вероятность того, что ошибочное значение оцениваемого параметра модели регрессии даст в результате ощутимое уменьшение функции ошибок. Такое явление называется локальным минимумом.
Следствием локальных минимумов являются неоправданно завышенные или заниженные оценки неизвестных параметров модели регрессии.
Избежать попадания в локальный минимум можно путём повторения процедуры оценивания неизвестных параметров модели регрессии с изменёнными начальными условиями (шагом, ограничением оцениваемых параметров и т. д.).
При достижении функцией ошибок глобального минимума, оценки неизвестных коэффициентов модели регрессии считаются оптимальными.
К основным методам минимизации функции ошибок относятся:
1) метод Ньютона. В соответствии с данным методом основной шаг в направлении глобального минимума метода Ньютона рассчитывается по формуле:
