G(e) – среднеквадратическое отклонение ряда остатков:
При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации.
Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. tнабл›tкрит, то основная гипотеза отвергается. Следовательно, ряд остатков является не центрированным.
Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. tнабл≤tкрит, то основная гипотеза принимается. Следовательно, ряд остатков является центрированным.
Проверка независимости ряда остатков модели осуществляется с целью определения возможной систематической составляющей в составе ряда остатков. Если модель подобрана неудачно, то остатки будут подвержены автокорреляционной зависимости.
Независимость остатков проверяется с помощью критерия Дарбина-Уотсона, связанного с гипотезой о наличии в ряде остатков автокорреляции первого порядка, т. е. о корреляционной зависимости соседних остатков.
Нормальность ряда остатков проверяется с помощью показателей асимметрии и эксцесса (если объём выборочной совокупности не превышает 50 значений). При нормальном распределении показатели асимметрии и эксцесса равны нулю.
На основании выборочных данных вычисляются эмпирические коэффициенты асимметрии и эксцесса по формулам:
Если вычисленные коэффициенты близки к нулю, то можно сделать вывод, что ряд остатков подчиняется нормальному закону распределения.
В дополнение к выборочным коэффициентам асимметрии и эксцесса рассчитывают показатели среднеквадратических отклонений данных коэффициентов по формулам:
Если одновременно выполняются следующие неравенства:
1) |КА|≤1,5G(A);
2) |КЭ|≤1,5G(Э),
то гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты принимается. Если хотя бы одно из указанных неравенств нарушается, то гипотеза о нормальном распределении остатков отвергается.
Помимо адекватности выбранной модели, необходимо охарактеризовать её точность. Наиболее простым критерием точности модели является относительная ошибка, рассчитываемая по формуле:
Если относительная ошибка равна менее, чем 13 %, то точность подобранной модели признаётся удовлетворительной.
76. Сезонные и циклические компоненты временного ряда
Для построения адекватной модели временного ряда необходимо охарактеризовать сезонные и циклические компоненты временного ряда. К основным методам моделирования сезонных и циклических колебаний относятся:
1) метод вычисления сезонной компоненты и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда;
2) метод применения сезонных фиктивных переменных;
3) метод анализа сезонных колебаний с помощью автокорреляционной функции;
4) метод, основанный на использовании одномерных рядов Фурье.
В связи с тем, что моделирование сезонных и циклических колебаний происходит аналогично, применение данных методов мы будем рассматривать на примере моделирования сезонных колебаний.
Аддитивная модель временного ряда стоится в том случае, если амплитуда сезонных колебаний не меняется во времени:
yt=Tt+St+εt,
где T – это трендовая компонента;
S – это сезонная компонента;
ε – случайный шум.
Мультипликативная модель временного ряда стоится в том случае, если амплитуда сезонных колебаний изменяется во времени:
yt=Tt*St+εt.
Предположим, что задача состоит в исследовании временного ряда Xij, где i – это номер сезона (периода времени внутри года, например, месяца или квартала),
L – число сезонов в году, j – номер года,
m – общее количество лет. Количество уровней исходного временного ряда равно n=L*m.
Прежде чем рассчитывать сезонную компоненту, исходный временной ряд необходимо выровнять. Для этого применяются методы механического выравнивания, к которым относятся:
1) метод скользящих средних;
2) метод экспоненциального сглаживания;
3) метод медианного сглаживания и др.
Результатом процедуры сглаживания будет временной ряд выровненных значений
не содержащих сезонной компоненты.
Если временной ряд представлен аддитивной моделью, то в качестве сезонной компоненты используется показатель абсолютного отклонения – Sai. Сумма всех сезонных компонент, т.е. показателей абсолютных отклонений Sai. должна быть равна нулю.
Если временной ряд представлен мультипликативной моделью, то в качестве сезонной компоненты используется индекс сезонности – Isi. Произведение всех сезонных компонент, т. е. индексов сезонности Isi, должно быть равно единице.
Показатель абсолютного отклонения в i-том сезоне рассчитывается как среднее арифметическое из отклонений фактического и выровненного уровней временного ряда:
Индекс сезонности в i-том сезоне рассчитывается как среднее арифметическое из отношений фактического уровня временного ряда к выровненному:
Если при построении аддитивной модели временного ряда сумма всех абсолютных отклонений не равна нулю, то рассчитываются скорректированные значения сезонных компонент по формуле:
где L – общее количество сезонных компонент.
На следующем этапе построения модели временного ряда осуществляется расчёт трендовой компоненты с помощью метода аналитического выравнивания функциями времени или кривыми роста. Данный метод выравнивания применяют не к исходному временному ряду, а к временному ряду с исключённой сезонной компонентой. При этом уровни исходного временного ряда корректируются на величину сезонной компоненты следующим образом:
1) для аддитивной модели из исходных уровней вычитаются показатели абсолютных отклонений Sai;
2) для мультипликативной модели уровни исходного временного ряда делятся на индексы сезонности Isi.
77. Сезонные фиктивные переменные
Метод сезонных фиктивных переменных относится к методам моделирования сезонных компонент временного ряда. Суть данного метода заключается в построении модели регрессии, которая наряду с фактором времени включает сезонные фиктивные переменные.
Фиктивной переменной (dummy variable) называется атрибутивный или качественный фактор, представленный с помощью определённого цифрового кода.
Моделью регрессии с переменной структурой называется модель регрессии, включающая в качестве факторной (факторных) переменных фиктивную переменную.
Предположим, что задача состоит в исследовании временного ряда Xij, где i – это номер сезона (периода времени внутри года, например, месяца или квартала),
L – число сезонов в году, j – номер года,
m – общее количество лет. Количество уровней исходного временного ряда равно n=L*m.
При построении модели регрессии с переменной структурой необходимо учитывать, что число сезонных фиктивных переменных всегда должно быть на единицу меньше сезонов внутри года, т. е. должно быть равно величине L-1. Например, при моделировании годовых данных модель регрессии помимо фактора времени должна содержать одиннадцать фиктивных компонент (12-1). При моделировании поквартальных данных модель регрессии должна содержать три фиктивные компоненты (4-1) и т. д.
Каждому из сезонов соответствует определённое сочетание фиктивных переменных. Сезон, для которого значения всех фиктивных переменных равны нулю, является базой сравнения. Для остальных сезонов одна из фиктивных переменных принимает значение, равное единице. Например, если имеются поквартальные данные, то значения фиктивных переменных D2,D3,D4 будут принимать следующие значения для каждого из кварталов:
Тогда общий вид модели регрессии с переменной структурой будет иметь вид:
yt=β0+ β1*t+δ2*D2+δ3*D3+δ4*D4+εt.
Данная модель регрессии представляет собой одну из разновидностей аддитивной модели временного ряда.
На основе общей модели регрессии с переменной структурой можно составить базисную модель или модель тренда для первого квартала:
yt=β0+ β1*t+εt.
Также на основе общей модели регрессии с переменной структурой можно составить частные модели регрессии:
