80. Автокорреляция уровней временного ряда. Анализ структуры временного ряда на основании коэффициентов автокорреляции
Временной ряд является нестационарным, если он содержит такие систематические составляющие как тренд и цикличность.
Нестационарные временные ряды характеризуются тем, что значения каждого последующего уровня временного ряда корреляционно зависят от предыдущих значений.
Автокорреляцией уровней временного ряда называется корреляционная зависимость между настоящими и прошлыми значениями уровней данного ряда.
Лагомl называется величина сдвига между рядами наблюдений.
Лаг временного ряда определяет порядок коэффициента автокорреляции. Например, если уровни временного ряда xt и xt–1 корреляционно зависимы, то величина временного лага равна единице. Следовательно, данная корреляционная зависимость определяется коэффициентом автокорреляции первого порядка между рядами наблюдений x1…xn-1 и x2…xn. . Если лаг между рядами наблюдений равен двум, то данная корреляционная зависимость определяется коэффициентом автокорреляции второго порядка и т. д.
При увеличении величины лага на единицу число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на единицу. Поэтому максимальный порядок коэффициента автокорреляции рекомендуется брать равным n/4, где n – количество уровней временного ряда.
Автокорреляция между уровнями временного ряда оценивается с помощью выборочного коэффициента автокорреляции, который рассчитывается по формуле:
где
– среднее арифметическое произведения двух рядов наблюдений, взятых с лагом l:
– значение среднего уровня ряда x1+l,x2+l,…,xn:
– значение среднего уровня ряда x1,x2,…,xn–l:
G(xt), G(xt–l) – средние квадратические отклонения, рассчитанные для рядов наблюдений x1+l,x2+l,…,xn и x1,x2,…,xn–l соответственно.
Структуру временного ряда можно определить, рассчитав несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. В результате данных вычислений можно выявить лаг l, для которого значение выборочного коэффициента автокорреляции rl является наибольшим.
Анализ структуры временного ряда с помощью коэффициентов автокорреляции стоится на следующих правилах:
1) исследуемый временной ряд содержит только трендовую компоненту, если наибольшим является значение коэффициента автокорреляции первого порядка rl–1;
2) исследуемый временной ряд содержит трендовую компоненту и колебания периодом l, если наибольшим является коэффициент автокорреляции порядка l. Эти колебания могут быть как циклическими, так и сезонными;
3) если ни один из коэффициентов автокорреляции
не окажется значимым, то делается один из двух возможных выводов:
а) данный временной ряд не содержит трендовой и циклической компонент, а его колебания вызваны воздействием случайной компоненты, т. е. ряд представляет собой модель случайного тренда;
б) данный временной ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой необходимо провести его дополнительный анализ.
Графическим способом анализа структуры временного ряда является построение графиков автокорреляционной и частной автокорреляционной функций.
Автокорреляционной функцией называется функция оценки коэффициента автокорреляции в зависимости от величины временного лага между исследуемыми рядами.
Графиком автокорреляционной функции является коррелограмма.
Частная автокорреляционная функция отличается от автокорреляционной функции тем, что при её построении устраняется корреляционная зависимость между наблюдениями внутри лагов.
81. Стационарный процесс. Стационарный временной ряд. Белый шум
Временной ряд называется детерминированным, если значения уровней временного ряда точно определены какой-либо математической функцией, являющейся реализацией исследуемого процесса.
Временной ряд называется случайным, если уровни временного ряда могут быть описаны с помощью функции распределения вероятностей.
Таким образом, уровни временного ряда могут быть детерминированными или случайными величинами.
Уровни случайного временного ряда могут быть непрерывными и дискретными случайными величинами.
Случайная величинаХ называется дискретной, если множество её возможных значений является конечным или счётным. В качестве примера случайного временного ряда с дискретными уровнями может служить временной ряд, отражающий значения ежемесячной выдачи зарплаты рабочим.
Случайная величина Х называется непрерывной, если она может принимать любое значение из конечного или бесконечного интервала. В качестве примера случайного временного ряда с непрерывными уровнями может служить временной ряд, отражающий значения температуры воздуха, зарегистрированные с определённой периодичностью.
Стохастическим процессом называется процесс, который развивается во времени в соответствии с законами теории вероятностей.
К стохастическим процессам относится класс стационарных процессов.
Стохастический процесс называется стационарным, если его основные свойства остаются неизменными во времени.
Предположим, что исследуется временной ряд Х. Обозначим через xt уровень данного временного ряда. Тогда стационарный процесс будет характеризоваться следующими четырьмя свойствами:
1) математическое ожидание стационарного ряда E(yt) является постоянным, т. е. среднее значение временного ряда, вокруг которого изменяются уровни, является величиной постоянной:
2) дисперсия стационарного ряда является постоянной. Она характеризует вариацию уровней временного ряда относительно его среднего значения
3) автоковариация стационарного ряда с лагом l является постоянной, т. е. ковариация между значениями xt и xt+l, отделёнными интервалом в l единиц времени, определяется по формуле:
для стационарных рядов автоковариация зависит только от величины лага l, поэтому справедливо равенство вида:
4) коэффициенты автокорреляция стационарного ряда с лагом l являются постоянными. Следовательно, автокорреляция является нормированной автоковариацией, т. к. для стационарного процесса G2(y)=const:
Таким образом, коэффициент автокорреляции порядка l определяется по формуле:
Нестационарным временным рядом называется ряд, который не удовлетворяет вышеперечисленным свойствам.
Случайный процесс, называемый белым шумом, является частным случаем стационарных временных рядов.
Белым шумом называется случайная последовательность значений y1, y2,…,yN, если её математическое ожидание равно нулю, т.е. E(Yt)=0, где
её элементы являются некоррелированными (независимыми друг от друга) одинаково распределёнными величинами, и дисперсия является постоянной величиной D(Yt)=G2=const.
Белый шум – это теоретический процесс, который реально не существует, однако он представляет собой очень важную математическую модель, которая используется при решении множества практических задач.
82. Линейные модели стационарного временного ряда
Стохастический временной ряд называется стационарным, если его математическое ожидание, дисперсия, автоковариация и автокорреляция являются неизменными во времени.
К основным линейным моделям стационарных временных рядов относятся:
1) модели авторегрессии;
2) модели скользящего среднего;
3) модели авторегрессии скользящего среднего.
Уровень временного ряда, представленного моделью авторегрессии порядка р, можно представить следующим образом:
yt=δ1yt-1+δ2yt-2+…+δpyt–p+νt,
где p – порядок модели авторегрессии;
δt – коэффициенты модели авторегрессии, подлежащие оцениванию;
νt – белый шум (случайная величина с нулевым математическим ожиданием).
Модель авторегрессии порядка р обозначается как АР(р) или AR(p).
На практике чаще всего используются модели авторегрессии первого, второго, максимум третьего порядков.
