опционов. В большинстве случаев временная премия (time premium), связанная с оставшимся сроком жизни опциона, и транзакционные издержки делают ранее исполнение опциона условно оптимальным. Другими словами, владельцы опциона «в-деньгах» (с выигрышем) обычно выигрывают гораздо больше, продавая опционы третьей стороне, а не исполняя их.
Прорыв в теории оценки опционов начался в 1972 г., когда Фишер Блэк и Майрон Шоулз (Fischer Black, Myron Scholes) опубликовали свою революционную работу, где описывалась модель, позволяющая проводить оценку стоимости европейских опционов на фондовые активы (акции), по которым дивиденды не выплачиваются. Блэк и Шоулз использовали имитирующий портфель (replication portfolio), т. е. портфель, составленный из базового актива и безрискового актива, который создает те же денежные потоки, что и оцениваемый опцион. Для получения результирующей формулировки был задействован механизм арбитража. Вывод модели с математической точки зрения является достаточно сложным, но существует более простая биномиальная модель для оценки опционов, использующая ту же логику.
Биномиальная модель
В основе биномиальной модели оценки опционов (binomial option pricing model) лежит элементарная формулировка процесса установления цены опциона, в котором актив в любой период времени может двигаться к одной из двух возможных цен. Общая формулировка процесса установления цены акции по биномиальной схеме показана на рисунке 5.3. На этом рисунке S – это текущая цена акции. Цена движется вверх к цене Su с вероятностью p и вниз к цене Sd с вероятностью 1 – p в любой период времени.
Создание имитирующего портфеля. Цель создания имитирующего портфеля – это использование комбинации безрискового заимствования/ссуды и базового актива для создания денежного потока, аналогичного денежному потоку, создаваемому оцениваемым опционом. В данном случае применяются принципы арбитража, и стоимость опциона должна быть равна стоимости портфеля-имитатора. В общей формулировке, представленной на рисунке 5.3, где цена акции может двигаться вверх к Su или вниз к Sd в любой период времени, портфель-имитатор для колл-опциона с ценой исполнения К включает заимствование В (долл.) и приобретение Δ базового актива, где
В биномиальном процессе со многими периодами оценка должна производиться на дискретной основе (т. е. начиная с заключительного временного периода и двигаясь назад во времени к текущему моменту). Портфели, воспроизводящие опцион, создаются для каждого шага и каждый раз оцениваются, это позволяет выяснить стоимость опциона в данный период времени. Заключительный результат биномиальной модели оценки опциона – это определение стоимости опциона в единицах имитирующего портфеля, составленного из Δ акций (дельты опциона) базового актива и безрискового заимствования или ссуды.
Стоимость колл-опциона = текущая стоимость базового актива × дельта опциона – заимствование, необходимое для имитации опциона.
Детерминанты стоимости. Биномиальная модель дает представление о детерминантах стоимости опциона. Она определяется не ожидаемой ценой актива, а его текущей ценой, которая, естественно, отражает ожидания, связанные с будущим. Это прямое следствие арбитража. Если стоимость опциона отклоняется от стоимости имитирующего портфеля, инвесторы могут создать арбитражную позицию (т. е. позицию, которая не требует никаких инвестиций, не связана с риском и обеспечивает положительный доход). Например, если портфель, воспроизводящий колл-опцион, стоит больше по сравнению с его рыночной стоимостью, то инвестор может купить колл-опцион, продать имитирующий портфель и получить гарантированную разницу, заработав прибыль. Денежные потоки по двум позициям компенсируют друг друга, и это приведет к отсутствию денежных потоков в последующие периоды. Стоимость колл-опциона также повышается при увеличении срока до его истечения (поскольку совершает больше движений вверх и вниз), а также при росте процентной ставки.
Хотя биномиальная модель на интуитивном уровне обеспечивает понимание принципа ценообразования опциона, она требует значительного числа исходных данных (если говорить с позиции ожидаемых в будущем цен на каждом узле). Если сократить периоды времени в биномиальной модели, то появляется возможность выбрать один из двух вариантов изменения цены актива, поскольку можно предположить, что колебания цен становятся меньше по мере сокращения периода. В пределе при стремлении временного периода к нулю изменения цен становятся бесконечно малыми (таким образом, процесс оценки стоимости становится непрерывным). С другой стороны, можно предположить, что изменения цен остаются значительными даже в случае сокращения периода. Это приводит к модели со скачкообразным процессом установления цен, когда цены могут скачкообразно изменяться в любой период времени. В данном разделе мы обсудим модели оценки опционов, вытекающие из каждого из этих предположений.
Модель Блэка-Шоулза
Когда процесс оценки является непрерывным (т. е. изменение цены становится меньше при сокращении временного периода), биномиальная модель оценки опциона сходится с моделью Блэка-Шоулза. Модель, названная в честь ее создателей (Фишера Блэка и Майрона Шоулза), позволяет нам оценивать стоимость любого опциона, используя небольшое число данных на входе. Данная модель доказала свою состоятельность для оценки многочисленных опционов, в том числе входящих в биржевые листинги.
Модель. Вывод модели Блэка-Шоулза слишком сложен, чтобы его здесь приводить. Тем не менее центральная идея модели состоит в создании портфеля на основе базового актива и безрискового актива с теми же денежными потоками, а потому с той же стоимостью, что и оцениваемый опцион. Стоимость колл-опциона в модели Блэка-Шоулза можно записать как функцию пяти переменных:
S = текущая стоимость базового актива;
K = цена исполнения опциона;
t = срок жизни опциона – период времени, оставшийся до момента его истечения (как доля года);
r = безрисковая процентная ставка, соответствующая сроку жизни опциона (в годовом исчислении);
σ2 = дисперсия натурального логарифма коэффициента, показывающего изменение стоимости базового актива, который можно определить как «коэффициент доходности базового актива» [31].
Стоимость колл-опциона равна:
Заметим, что e-rt представляет собой фактор приведенной (текущей) стоимости и отражает тот факт, что цена исполнения колл-опциона необязательно выплачивается до его истечения. N(d1) и N(d2) – это вероятности, оцененные посредством использования кумулятивной функции стандартизированного нормального распределения, а также величин d1 и d2 для данного опциона. Рисунок 5.4 иллюстрирует кумулятивную (интегральную) функцию распределения.
Говоря проще, эти вероятности характеризуют способность опциона создавать положительные денежные потоки для его владельца при исполнении опциона (т. е. S > K в случае колл-опциона и K > S для пут-опциона). Портфель, который воспроизводит колл-опцион, создается путем приобретения N(d1) единиц базового актива и заимствования суммы K × e-rt N(d2). Портфель будет иметь те же самые денежные потоки, что и колл-опцион, а следовательно, и ту же стоимость, что и опцион. Величина N(d1), которая представляет собой число единиц базового актива, требуемых для создания
