имитирующего портфеля, называется дельтой опциона.
ОЦЕНКА ВХОДНЫХ ДАННЫХ В МОДЕЛИ БЛЭКА-ШОУЛЗА
Модель Блэка-Шоулза требует, чтобы в исходных данных корректно учитывался фактор времени. Данный фактор влияет на оценки двояким образом. Во-первых, факт непрерывности, а не дискретности времени приводит к тому, что мы используем вариант приведенной стоимости с непрерывным временем (e-rt), а не дискретный вариант (1 + r)-t. К тому же это означает, что входные данные, такие как безрисковая ставка, должны быть модифицированы для соответствия непрерывному времени. Например, если ставка по одногодичной казначейской облигации равна 6,2 %, то безрисковая ставка, используемая в модели Блэка-Шоулза, составит:
Непрерывная безрисковая ставка = ln(1 + дискретная безрисковая ставка) = ln(1,062) = 0,06015 или 6,015 %.
Во-вторых, это период, на котором оцениваются входные данные. Предположим, что нам известна исходная ежегодная ставка. Дисперсию, которая используется в модели, также следует привести к годовому уровню. Дисперсию, оцененную на основе величины 1n(коэффициента доходности актива), можно легко привести к годовому уровню, поскольку дисперсия линейно зависит от времени, если автокорреляция равна нулю. Таким образом, если для оценки дисперсии используются месячные или недельные цены, то дисперсия приводится к годовому масштабу путем умножения соответственно на 12 или на 52.
Ограниченность и неоднозначность модели. Модель Блэка-Шоулза предназначена для оценки опционов, которые можно исполнить только по истечении их срока, а по базовому активу дивиденды не выплачиваются. Кроме того, опционы оцениваются исходя из предположения об отсутствии влияния исполнения опциона на стоимость базового актива. На практике активы приносят дивиденды, опционы иногда исполняются раньше срока, а исполнение опциона может повлиять на стоимость базового актива. Существуют поправки, хотя и несовершенные, которые призваны частично исправить недостатки модели Блэка-Шоулза.
Дивиденды. Выплата дивидендов уменьшает цену акции. Заметим: на экс-дивидендную дату цена акций обычно снижается. Следовательно, опционы колл становятся менее ценными, а пут-опционы – более ценными по мере повышения ожидаемых выплат дивидендов. Есть два способа учета дивидендов в модели Блэка-Шоулза:
ПОДРАЗУМЕВАЕМАЯ ВОЛАТИЛЬНОСТЬ
Единственная входная величина, относительно которой существуют значительные расхождения в оценке, – это дисперсия. Хотя дисперсия зачастую оценивается через анализ исторических ценовых рядов, стоимость опционов, вычисленная на основе прошлых значений дисперсии, может отличаться от рыночных цен. Тем не менее для любого опциона есть определенное значение дисперсии, при котором полученная при оценке стоимость будет равна рыночной цене. Данная величина дисперсии называется подразумеваемой дисперсией (implied variance).
Рассмотрим опцион на акции Cisco, процедура оценки которого показана в иллюстрации 5.2. При стандартном отклонении, равном 81 %, стоимость колл-опциона с ценой исполнения 15 долл. была определена на уровне 1,81 долл. Поскольку рыночная цена выше вычисленной нами стоимости, мы попробуем применить более высокое стандартное отклонение, получив следующие результаты: при стандартном отклонении 85,40 % стоимость опциона равна 2 долл. (т. е. рыночной цене). Эта величина и есть подразумеваемое стандартное отклонение, или подразумеваемая волатильность (implied volatility).
1. Краткосрочные опционы. Первый способ учета дивидендов – это оценка приведенной стоимости ожидаемых дивидендов, выплачиваемых по базовому активу в течение срока жизни опциона, а также вычет полученной величины из текущей стоимости актива, что даст оценку величины S для использования в модели.
Модифицированная цена акции = текущая цена акции – приведенная стоимость ожидаемых дивидендов на протяжении жизни опциона.
2. Долгосрочные опционы. Чем продолжительнее срок жизни опциона, тем менее практична оценка приведенной стоимости дивидендов, поэтому можно использовать альтернативный подход. Если на протяжении жизни опциона ожидается неизменность дивидендной доходности (y = дивиденды/текущая стоимость актива), то модель Блэка – Шоулза можно модифицировать следующим образом:
Должно быть понятно, что коррекция приводит к двум результатам. Во-первых, стоимость актива дисконтируется к текущему уровню (принимая во внимание размер дивидендов) для учета ожидаемого снижения стоимости актива, следующего за выплатой дивидендов. Во-вторых, процентная ставка компенсируется выплатой дивидендов для учета более низких издержек владения активом (в портфеле-имитаторе). Чистым эффектом окажется снижение стоимости опционов колл, оцененных при помощи модели.
Досрочное исполнение. Модель Блэка-Шоулза предназначена для оценки опционов, подлежащих исполнению только в момент истечения срока их действия. Такие опционы, как уже указывалось ранее, называются европейскими (European option), или опционами европейского стиля. В действительности же большинство опционов, с которыми мы встречаемся на практике, могут быть исполнены в любой момент до истечения их срока. Подобные опционы называются американскими (American option), или опционами американского стиля. Как упоминалось ранее, возможность досрочного исполнения делает американские опционы более ценными по сравнению с аналогичными европейскими, одновременно затрудняя оценку (опционов американского стиля). Следует отметить, что обращающиеся на рынке опционы обычно почти всегда лучше продать кому-то еще, а не исполнять их, поскольку опционы имеют временную премию (т. е. они продаются за цену, превышающую цену их исполнения). Однако существуют два исключения. Первое связано с тем случаем, когда базовый актив приносит большие дивиденды, снижая тем самым ожидаемую стоимость актива. В этом случае колл-опционы могут быть исполнены непосредственно перед «экс-дивидендной» датой, если временная премия (стоимость) опциона меньше, чем ожидаемое снижение стоимости актива, которое последует за выплатой дивидендов. Другое исключение возникает, когда инвестор имеет в своем портфеле и базовый актив, и пут-опционы на этот актив, характеризующиеся как «глубоко-в-деньгах» (deep in-the-money) (т. е. пут-опционы с ценой исполнения, значительно более высокой, чем текущая цена базового актива) в момент, когда процентные ставки высоки. В этом случае временная премия пут-опциона может оказаться меньше, чем потенциальный выигрыш от досрочного исполнения пут-опциона и процентной доходности на цену исполнения.
Существуют два основных способа учесть возможность досрочного исполнения опциона. Во-первых, можно продолжать использовать нескорректированную модель Блэка-Шоулза и рассматривать получившееся значение стоимости в качестве основы или консервативной оценки истинной стоимости. Кроме того, можно попытаться скорректировать стоимость опциона с поправкой на возможность досрочного исполнения. К решению этой проблемы есть два подхода. Первый – это использовать модель Блэка-Шоулза для оценки опциона на каждую потенциальную дату исполнения. Для случая фондовых опционов потребуется провести оценку для каждой «экс-дивидендной» даты и выбрать наибольшее из полученных значений стоимости опциона. Второй подход основывается на использовании модифицированной версии биномиальной модели, позволяющей рассмотреть возможность досрочного исполнения. В этой версии движения цены актива вверх и вниз в каждом периоде можно оценить, отталкиваясь от их продолжительности [32].
Подход 1. Оценка псевдоамериканского опциона
Шаг 1: Определить, когда будут выплачены дивиденды и в каком количестве.
Шаг 2: Оценить опцион на каждую «экс-дивидендную» дату,
