5
В указанной статье для журнала «Nature» вместо этого примера Доджсоном дан другой; предваряемая фраза слегка изменена, вместо двух заключительных абзацев — один и иной. «Вот, для примера, целиком должное решение при делении некоторого данного числа из семнадцати цифр на 999 и на 1001:
Но такие делители не относятся к повсеместно используемым, и для целей школьного обучения пока не будет иметь смысла выходить за пределы правил деления на 9 и на 11. Чарльз Л. Доджсон. К. Ч., Оксфорд».
Существуют также гранки ещё одной работы, дословно совпадающей с данным параграфом настоящего фрагмента «Curiosa Mathematica, часть III», имеющей тот же заголовок, как и статья в журнале «Nature», но без первого и заключительного абзацев последней. Вместо этого, заключительного, абзаца гранки имеют следующее продолжение.
«Тот же самый принцип приложим к любому числу, соседствующему с кратным 10-ти, при условии что мы сможем выявить, не прибегая к делению, требуемый Остаток.
Например, 41 есть множитель числа 99999, так что мы можем найти «остаток-41», предварительно найдя «остаток-99999», а затем разделив его на 41. Затем мы можем продолжать в соответствии с «правилом-11», за исключением того, что каждую цифру в отделе частного нижней строки мы, когда используем её как вычитаемое, должны брать учетверённой. Мы начинаем с разбиения данного числа на периоды по пять разрядов, затем складываем эти периоды вместе и, в случае если их сумма будет содержать более чем пять цифр, поступаем с ней таким же образом. Следовательно, будет лучше сделать подсчёт общей суммы, — предварительно, над данным числом, и только его конечный результат, который есть истинный Остаток, поместить снизу.
Примеры:
На этом гранки заканчиваются; поясним последние решения. В первом примере число 147705 — это сумма всех пятиразрядных периодов данного числа 327501876522096411585; число 23 есть остаток от деления числа 47706 (то есть 47705 + 1) на 41. Далее, в соответствии с вышесказанным, первый пример решается так. От 5 мы 23 отнять не можем, но можем отнять от 25; это «2» для разряда десятков при цифре 5 занимаем из 8. 25 - 23 = 2, пишем эту цифру под 8, от которой, за вычетом заимствованной двойки, остаётся только 6. Теперь в нижней строке мы вошли в раздел частного, поэтому от фактической цифры 6 верхней строки отнимаем не эту цифру 2, но 8 (то есть 2 × 4). Чтобы вычесть 8 из 6, занимаем для 6 значение разряда десятков у 5; тогда 16 – 8 = 8, и эту цифру 8 мы пишем под цифрой 5. Далее, 8 × 4 = 32, которое мы должны вычесть уже из 34 (то есть 5 – 1 = 4, что дает значение разряда единиц в 34, да по три заимствованные единицы у 1, у следующей 1 и у следующей за ними 4 для разряда десятков в 34). Далее — аналогично.
Франсин Ф. Абель, исследовательница и издательница математических бумаг Чарльза Лютвиджа Доджсона, полагает, что указанный пассаж был исключён автором из печатного варианта настоящей работы, ориентированной на школьное обучение, как выходящий за рамки элементарного уровня.
Этот параграф также представляет собой расширенный вариант статьи под названием «Сокращённое деление в столбик. Короткий способ деления данного числа делителем вида h10n ± k, в котором по крайней мере одно из двух чисел, h и k, больше 1», написанной 21 декабря 1897 года. Нижеследующий текст предваряется в статье таким абзацем: «Моя предыдущая статья по этому вопросу, появившаяся в «Nature» за 14 октября 1897 года, касается только случая, когда h = 1 и k = 1. Статья вызвала появление от других корреспондентов «Nature» нескольких интересных писем, с которыми редактор любезно позволил мне ознакомиться. Одно, от мистера Альфреда Сэнга, ссылается на «Stenarithmie» монсеньора Л. Ришара как на содержащее моё Правило деления на 11. Правильно, книга монсеньора Ришара, не попадавшаяся мне ранее, содержит такое правило, однако автор упустил из виду, что проверочный критерий, предоставляемый данным Способом ради уверенности в конечном результате, это совершенно чёткий и определённый критерий. Автор говорит: «La dernière difference, ou cette difference augmontée de 1, égalera le chiffre de gauche du nombre proposé <Последняя разность, либо таковая, увеличенная на единицу, равняется левой цифре заявленного числа>». Столь неопределённый критерий, как этот, был бы, разумеется, бесполезен. Однако та «difference <разность>», о которой он говорит, на деле является предпоследней; самая последняя всегда (как я показал в своей предыдущей работе) будет равняться нулю. Другой корреспондент, мистер Отто Зонне, утверждает, что мои Правила — как для 9, так и для 11, — можно отыскать в школьном учебнике мистера Адольфа Штеена, изданном в Копегагене в 1847 году. Так что, боюсь, мне придётся снять свои притязания, начиная от звания первооткрывателя этих правил и кончая славой первого, опубликовавшего сие по-английски».
Статья появилась в «Nature» (т. 57 от 20 января 1898 г., с. 269—271) спустя неделю после смерти автора, последовавшей 14 января. Она является предпоследней работой, отданной Доджсоном в печать.
Очевидно, поскольку это начальная буква слова ten ‘десять’.
Далее текст до конца этого абзаца и следующий за ним абзац появляются только в составе «Curiosa Mаthematica, часть III»; в статье, отданной в печать, они отсутствовали. Очевидно, автор счёл желательным описать «ход рассуждения» подробнее, чем это было сделано в статье. Мы, со своей стороны, кое-где в примечаниях добавили ещё уточнений.
Аналогично текст с этого места и до конца абзаца.
Опубликовано в «Knowledge», т. VI, 15 (от 4 июля 1884 г.) в качестве ответа на письмо некоего Эскью, опубликованного там же 30 мая.
Опубликовано в «Nature», т. 35, 517 (от 31 марта 1887 года). Данная статья — единственная из трёх, появившихся в данном издании, что была подписана «Льюис Кэрролл».
См., однако, примечание [18].
Таким образом, данный Способ есть приноровление к нашей способности вычислять в уме общей формулы для нахождения дня недели Д, которую можно записать в виде (см., например, Куликов С. Нить времён: Малая энциклопедия календаря. М., «Наука». С. 177—182):
Д = |(Г + М + Ч)/7|
(прямые скобки обозначают остаток от деления нацело). Здесь Г = | (J + {J/4})/7| есть годовой член, известный с VIII века как конкурента, или солнечная эпакта (на Руси — вруцелетная буква); его и составляет сумма (опять же по модулю семь) Доджсоновых члена «сотни» и члена «годы»; М — это месячный член из Доджсоновой таблицы, аналогичный старинной, из похожей таблицы, величине, называемой солнечный регуляр, а Ч — заданное число месяца. Выражение в фигурных скобках обозначает целую часть от деления.
Работа Доджсона по упрощению расчётов в уме дня недели для любой даты в следующем веке была интенсивно продолжена. На Западе дальнейшая попытка упрощения вызвала к жизни так называемое «правило Судного дня» Джона Хортона Конвея (статья «Завтра — новый день после Судного дня» в журнале «Eureka», октябрь 1973 года, затем два издания (второе — 1982 год в четырёх томах) книги «Winning Waysfor Your Mathematical Plays» с соавторами). Приведём краткое описание этого Правила. Оно заключается в предварительном нахождении двух величин, а именно:
1) Судный день года. Это порядковый номер дня недели, на который приходится в данном году 28 или 29 февраля. Известно, что в 1900 году последний день февраля был средой. Тогда, поскольку 365 = 1 mod 7, то каждый обычный год прибавляет 1 к Судному дню, а каждый високосный прибавляет 2 дня. Следовательно, Судный день для года 1900 + Y есть день 1900 + Y + {Y/4}. Высчитаем Судный день 1929 года (то есть, на какой день недели приходится в этом году 28 февраля): 1900 + 29 + {29/4} = 3 + 29 + 7 = 39 = 4 mod 7, т. е. четверг.
2) Судный день месяца. Правила Конвея тут таковы: а) для января — это 31/32-е числа, а для февраля — 28/29-е соответственно для простого и високосного годов; б) для чётных месяцев вроде апреля и июня число Судного дня равно порядковому номеру этого месяца; в) для «длинных» нечётных месяцев (т. е. для месяцев, у которых тридцать один день) число Судного дня есть порядковый номер месяца плюс 4; г) и для «коротких» нечётных месяцев (по тридцати дней) число Судного дня есть порядковый номер месяца минус 4. Таким образом, Конвей принимает Доджсонову таблицу:
3) Вычисление. Оно заключается в суммировании номера дня недели Судного дня года и взятой по модулю 7 разницы между числом Судного дня месяца и заданным числом. Найдём, например, на какой день недели приходится 7 декабря 1941 года: а) число Судного дня для декабря — двенадцатое, поэтому разница составит 7 – 12 = – 5 дней, или 2 mod 7; б) Судный день 1941 года есть день 3 + 41 + 10 = 54 = 5 mod 7. Поэтому 7 декабря 1941 года будет воскресеньем (2 + 5 = 7 → 0).
