Для ускорения расчётов — чтобы не искать в уме, чему равны большие двузначные числа по модулю семь — Конвей предлагает некоторые хитрости, опять же подсказанные Доджсоном. Известно, например, что каждые двенадцать (дюжину) лет Судный день года сдвигается вперёд на один день, поскольку 12 + {12/4} = 12 + 3 = 15 = 1 mod 7. Поэтому если нам нужен 1941 год, замечаем, что 41 = 3 12 + 5, а {5/4} = 1, поэтому Судный день 1941 года есть день 3 + 3 + 5 + 1 = 12, откуда легко видеть, что это есть 5 mod 7.
Для других столетий требуется учесть напоминание Доджсона по учёту високосных годов среди годов с двумя нулями (так называемое солнечное уравнение). В своей модифицированной версии Конвей предлагает следующую таблицу для годов нашей эры (новый стиль):
Тогда Судный день для 1811 года находится суммированием 1800 + 11 + 4 = 5 + 11 + 2 = 4 mod 7.
Названная книга Роуза Болла и поныне чрезвычайно популярна. Существует даже её перевод на русский язык (Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. М., «Мир», 1986). Однако и на русском языке, и в западных переизданиях эта некогда весьма пёстрая книга теперь существует в уменьшенной наполовину, если не на две трети, редакции, идущей от десятого прижизненного издания, в дальнейшем редактируемого известным математиком Г. Коксетером (так, указанный русский перевод сделан с 12-го коксетеровского издания!). То место, на которое ссылается Доджсон, ныне в книге отсутствует. Приведём соответствующий отрывок по четвёртому авторскому изданию.
«Пусть m и n — это числа, определённые как показано ниже.
(1) Разделить число, обозначающее год, на 4, на 7 и на 19, а соответствующие остатки от деления нацело обозначить как a, b и c.
(2) Разделить 19с + m на 30 и остаток обозначить через d.
(3) Разделить 2a + 4b + 6d + n на 7 и остаток обозначить через e.
(4) Тогда пасхальное полнолуние состоится через d дней после 21 марта, и Пасха выпадет на (22 + d + e)-е число марта либо на (d + e – 9)-й день апреля, за исключением случая, когда расчёт даст 29 для d и 6 для e (как получается для 1981-го года), — в этом случае Пасха приходится на 19-е апреля вместо 26-го; и за исключением случая, когда расчёт даст 28 для d, 6 для e и при этом c > 10 (как получается для 1954-го года) — тогда Пасха приходится на 18-е апреля вместо 25-го, и таким образом в этих двух случаях Пасха наступает на неделю раньше того срока, который получается согласно настоящему правилу.
Юлианский календарь свободен от подобных исключений, в григорианском же они появляются, правда очень редко (cм. прим. [23] — А. М.)
Остаётся только установить значения m и n для конкретного периода. В юлианском календаре имеем m = 15, n = 6. В григорианском календаре
Так, для года 1908 имеем m = 24, n = 5; следовательно, a = 0, b = 4, c = 8, d = 26, а e = 2 и пасхальное воскресенье приходится на 19-е апреля. После 4200-го года вид настоящего правила должен быть слегка видоизменён. <…>
Можно избегнуть необходимости запоминать значения m и n, если учесть, что если N — данный год, а {N/x} обозначает целую часть отношения N к x, то m есть остаток от деления 15 + ξ на 30, а n есть остаток от деления 6 + η на 7; здесь для юлианского календаря ξ = 0, η = 0, тогда как для григорианского календаря
ξ = {N/100} – {N/400} – {N/300}, η = {N/100} – {N/400} – 2.
Если мы примем эти значения для m и n и если положим для a, b, c их значения, а именно,
a = N – 4{N/4}, b = N – 7{N/7}, c = N – 19{N/19},
то наше правило примет следующий вид. Разделить 19N – {N/19} +15 + ξ на 30 и обозначить остаток как d. Затем разделить 6(N + d + 1) – {N/19} + η на 7 и обозначить остаток как e. Тогда пасхальное полнолуние выпадет на d-й день после 21-го марта, а Пасха, соответственно, придётся на (22 + d + e)-й день марта либо на (d + e – 9)-е число апреля; исключение составляют случаи, когда расчёт даёт 29 для d и 6 для e или же 28 для d и 6 для e с тем, что c > 10, когда Пасха приходится на (d + e – 16)-й день апреля.
Так, если N = 1899, делим 19(1899) – 99 + 15 + (18 – 4 – 6) на 30, что даёт d = 5; продолжаем делением 6(1899 + 5 + 1) – 474 + (18 – 4 – 2) на 7, что даёт e = 6; а потому Пасха придётся на 2-е апреля».
То есть, остаток при делении 4325 на семь равняется 6. В следующих примерах этого пункта он равняется соответственно 4 и 2. Далее — аналогично.
Дефектом числа (либо фигуры) называется количественное отличие данного числа (либо параметров данной фигуры) от некоторого определённого числа (либо определённых параметров фигур данного класса; так, дефектом треугольника называется отличие суммы углов данного треугольника от 180°).
От английского слова remainder ‘остаток’.
Датой первого дня григорианского календаря в странах, которые ввели у себя новый календарный стиль раньше других (Италия, Испания, Португалия, Польша и Франция) стало 15 октября 1582 года (для прочих стран см. Климишин И. А. Календарь и хронология. М., «Наука», 1990, с, 455, либо Куликов С. С. Нить времён: малая энциклопедия календаря с заметками на полях газет. М., «Наука», 1991, с. 133).
Что получение календарной даты такого «загадочно»-подвижного праздника, как Пасха, путём изложенных в вышеперечисленных пунктах простых выкладок не есть фокус и не содержит ничего надуманного, можно видеть уже из цитированного отрывка книги Роуза Болла, словесно излагающего исходные формулы Гаусса. Например, Роуз Болл тоже начинается с предварительного нахождения остатков от деления нужного года на 4, на 7 и на 19. Читатель получит вполне наглядное видение всей задачи, «стоит только» (как указывает и сам Уильям Роуз Болл в предисловии к первой, арифметической, главе своей книги) «перевести все операции на строгий математический язык». Проделаем же здесь эту процедуру: приведём формулы Гаусса к Доджсонову виду. Но сначала ещё раз разъясним их физический смысл. Как постановил в 325-м году Никейский собор, первый день Пасхи (его дата и обозначается через P) должен совпадать с воскресеньем, непосредственно следующим за днём пасхального полнолуния, а в качестве последнего следует принимать то, которое наступает либо 21 марта (день весеннего равноденствия в год собора), либо непосредственно после него; иными словами, P = V + D, где V — это дата пасхального полнолуния, равная 21 + d (т. е. d есть промежуток между 21 марта и пасхальным полнолунием), D — это количество дней, через которое после пасхального полнолуния наступает Пасха, то есть разность между датами воскресенья S, наступающего после 25 февраля, и пасхального полнолуния V; так как это количество не менее 1 и не более 7, следует записать: D = |(S – V)/7|, или, поскольку остаток 0 может быть замещён 7, D = |(S – V + 6)/7| + 1. Далее, S = 2a + 4b + n – 6, в каковом выражении буквы a, b, n означают то же, что у Роуза Болла (и см. ниже). Подставив выражения для S и V в формулу для D, получим D = |(2a + 4b + n – 6)/7| + 1, или D = e + 1.
Итак, число P, на которое приходится Пасха, определяется следующими выражениями:
P = 22 + (d + e) марта (1)
или, если P превысит 31,
P = (d + e) – 9 апреля. (2)
Входящие в эти формулы величины таковы: d = |(19c + m)/30|, e = |(2a + 4b – d + n)/7|.
