и делимо на (r + 1); следовательно, если M делимо на (r + 1) или на какой-либо его множитель, то так же и N. И в этом случае r + 1 = 1001 = 7 × 11 × 13.
Правило моего отца состояло в том, чтобы поместить самый правый период под следующим и произвести вычитание, поместив остаток вновь под следующим периодом и так далее. В последнем периоде вычитание производится вверх ногами, если нижнее число окажется большим. В нашем примере, поскольку мы имеем 1, которая переносится в последний период, число 931 следует читать как 932. Конечный остаток, 924, есть наше проверочное число, и поскольку оно делимо на 7 и на 11, то исходное число также на них делится.
Если случится так, что проверочное число окажется равным нулю, то вторая строка сделается частным от деления данного числа на 1001, то есть множителем, остающимся после сокращения на 7, на 11 и на 13. В самом деле, обозначим вторую строку через V; приписывая в конце три нуля, получаем 1000V; а мы знаем, что если вычесть её из верхней строки, то остатком будет V. Следовательно, N = 1001V = 7 × 11 × 13 × V. Если бы в вышеприведённом примере крайний левый разряд составлял 932 вместо 8, то проверочное число оказалось бы нулём.
Если такие периоды составить из единичных разрядов, то есть если r = 10, мы получаем критерий делимости на 11 и в то же самое время частное после сокращения на 11. Изложенное правило требует поместить последнюю цифру под соседней, вычесть, разность поместить под следующей и так далее. В нашем примере проверочное число равняется нулю; следовательно, данное число — это 11 × 5852053.
С периодами по два разряда мы получаем критерий делимости на 101; то же для четырёх или более разрядов.
Ч. Л. Доджсон
К. Ч., Оксфорд
P. S. Сумма всех периодов даёт нам, для периодов из 1, 2, 3 и т. д., разрядов, критерий делимости на 9, 99, 999 (= 27 × 37) и т. д., или для любого множителя этих чисел. Для этого метода также можно выработать правило, аналогичное вышеизложенному; например, для критерия в отношении 999 размечаем на периоды по три, пишем 000 поверх крайнего правого периода и вычитаем, записывая разность поверх следующего и так далее. Следовательно, если так же случится, что проверочное число обратится в нуль, верхняя строка (за опусканием 000) станет частным от деления данного числа на 999.
Вероятно, похожие правила можно выработать для большинства простых чисел. Я сам разработал достаточно простые правила для 17 и 19, но подобные процедуры скорее любопытны, чем удобны.
НАЙТИ ДЕНЬ НЕДЕЛИ ДЛЯ ЛЮБОЙ ЗАДАННОЙ ДАТЫ [11]
Натолкнувшись на следующий способ вычисления в уме дня недели для любой заданной даты, шлю его Вам в надежде, что он заинтересует некоторых из Ваших читателей. Сам я считаю медленно; и поскольку, как я обнаружил, среднее время, затрачиваемое мной на решение всех таких задач, составляет двадцать секунд, то для тех, кто считает быстро, хватит, несомненно, и пятнадцати.
Берём заданную дату четырьмя частями, а именно: количество сотен, количество лет сверх, месяц, день.
Вычисляем следующие четыре величины, прибавляя каждую, по её нахождении, к общей сумме предыдущих величин. Если какая-то величина либо такой итог превышает 7, делим на 7 и сохраняем один лишь остаток.
Член «сотни». — Для старого стиля (который закончился 2 сентября 1752 года), вычитаем из 18. Для нового стиля (который начался 14 сентября [того же года] [12]) делим на 4, избыток отнимаем у 3, оставшееся умножаем на 2.
Член «годы». — Складываем вместе количество дюжин, избыток и количество четвёрок в избытке.
Член «месяц». — Если он начинается либо заканчивается на гласную, вычитаем число, обозначающее его номер в году, из 10. Результат плюс количество дней в нём дают член следующего месяца. Значение для января есть «0», для февраля или марта (третий месяц) будет «3», для декабря (двенадцатый месяц) будет «12».
Член «день» есть число месяца.
Полученный таким образом итог нужно подправить вычитанием «1» (но сперва добавив «7», если итог равен «0»), если дата приходится на январь или февраль високосного года; следует помнить, что всякий год, делящийся на 4, будет високосным, за исключением лишь тех сотенных лет для нового стиля, когда количество сотен не делится на 4 (например, 1800-й год).
Окончательный итог даёт день недели, причём «0» означает воскресенье, «1» — понедельник и так далее.
ПРИМЕРЫ
18 сентября 1783 года
17, делённое на 4, оставляет «1» сверх; 1 из 3 даёт «2»; дважды 2 будет «4».
83 есть 6 дюжин и 11, что даёт 17; плюс 2 будет 19, т. е. (после деления на 7) «5». В итоге 9, т. е. «2».
Член для августа есть «8 от 10», т. е. «2», а потому, для сентября, он есть «2 плюс 31», т. е. «5». В итоге 7, т. е. «0», который выходит.
18 даёт «4». Ответ: четверг.
23 февраля 1676 года
16 из 18 даёт «2».
76 есть 6 дюжин и 4, что даёт 10; плюс 1 будет 11, т. е. «4». В итоге «6».
Член для февраля есть «3». В итоге 9, т. е. «2».
23 даёт 2. В итоге «4».
Поправка для високосного года даёт «3». Ответ: среда.
Льюис Кэрролл [13]
ПРАВИЛО НАХОЖДЕНИЯ ДАТЫ ПАСХИ ДЛЯ ЛЮБОГО ГОДА ВПЛОТЬ ДО 24991. Введение
В основе данного Правила лежит формула Гаусса; Гауссово доказательство этой формулы приведено во втором томе «Monatliche Correspondenz» Цаха (август 1800 года, страницы 221—230), по каковой публикации эту формулу воспроизвёл мистер У. У. Роуз Болл в своих «Математических <эссе и> развлечениях», выпущенных издательством «Макмиллан и Ко» [14]. Единственная отличительная черта моей версии данного Правила состоит в его большей простоте. Моим способом результат может быть посчитан в уме, без особого труда, за полминуты; метод же Гаусса определённо потребовал бы гораздо большего времени, как и гораздо больших усилий при вычислении в уме.
Перед тем, как приступить к самому Правилу, читателю следует овладеть кое-какими необходимыми арифметическими процедурами, изложенными здесь же.
2. Некоторые необходимые арифметические процедуры
(1)
Прибавить 15 к данному числу. Производится в два шага—10 и 5.
{Так, если дано число 187, то говорим: «197, 202».}
(2)
Найти Остаток, получающийся от деления данного числа на 4.Делим<на 4 лишь>две последние цифры.
(3)
Найти Остаток, получающийся от деления данного числа на 7. Называем следующие одно за другим делимые. Это всё, чего требует наш монолог про себя. Остаток от каждого делимого (который, разумеется, служит десятковым порядком при следующем делимом) находится непосредственно.
{Так, если дано число 4325, то говорим: «43, 12, 55; 6».} [15]
Будет лучше изгнать семёрки, где только удобно так поступить.
{Следовательно, если делимое будет кратным семи, говорим «выходит» и пропускаем его. Так, если дано число 4225, то говорим: «42 выходит, 25; 4». Если дано число 4769, говорим: «47, 56 выходит, 9; 2».}
(4)
Найти остаток, получающийся от деления данного числа на 19. Если наше число не превышает 30, остаток находится непосредственно. Если число превышает 30, берём столько его цифр, сколько образуют число, превышающее единицу. Если это число чётное, делим его пополам и складываем со следующей цифрой; если оно нечётное, берём его меньшую половину и складываем со следующей цифрой, приставив к ней спереди единицу. Мысленно подставляем результат на место использованных таким образом цифр и продолжаем как ранее.
{Так, если дано число 88, то говорим: «4 и 8 будет 12». Если число 98, говорим: «4 и 18 будет 22; 3». Если число 147, говорим: «7 и 7 будет 14». Если число 157, говорим: «7 и 17 будет 24; 5». Если число 687, говорим: «3 и 8 будет 11; 5 и 17 будет 22; 3».}
Изгоняем девятнадцатки, где только можно.
{Так, если дано число 1992, пропускаем первые две цифры и говорим: «4 и 12 будет 16». Если число 5749, говорим: «2 и 17 будет 19, которое выходит; 2 и 9 будет 11». Если число 998, говорим: «4 и 19 будет 4; 2 и 8 будет 10». Если число 7994, говорим: «3 и 19 будет 3; 1 и 19 будет 1; 14».}
Если требуется прибавить 18, либо 17 и т. д., именуем их как «19 минус 1», либо «19 минус 2» и т. д. и пропускаем это «19».
{Так, если дано число 789, то говорим: «3 и минус 1 будет 2; 1 и 9 будет 10». Если число 967, говорим: «4 и минус 3 будет 1;17».}
Но этим способом не следует пользоваться, если число, к которому нужно прибавить 18 и т. д., меньше числа, которое предстоит вычесть.
