Верхний пример, решаемый в соответствие с этим Правилом, будет выглядеть так:
Ход рассуждения при этом следующий.
Делим число 5984 на 7, внося частное, 854, в первый столбец и помещая остаток, 6, над вторым периодом. Затем прибавляем к 6407 утроенное 854, внося результат во второй столбец следующим образом. «7 и 12 будет 19». Вносим 9, 1 в уме. «1 и 15 будет 16». Вносим 6, 1 в уме. «5 и 24 будет 29». Вносим 9, 2 в уме, которое, прибавленное к префиксу 6, даёт 8, которое также вносим. Отметив для себя, что это 8969 не меньше, чем наш делитель, и что оно содержит этот делитель единожды, вносим 1 в первый столбец, трижды 1 — во второй, затем проводим снизу черту и приплюсовываем это новое значение, не забывая вычесть из результата усемерённое t3, то есть 7000; в итоге получаем 1972. Затем суммируем первый столбец снизу вплоть до двойной черты и вносим результат, 855, в графу «Частное». Теперь берём 1972 как новый первый период, а третий период, 103, как новый второй период, и продолжаем как ранее следующим образом [8]. Проводим двойную черту под 1972 и делим его на 7, внося частное от деления, 281, под двойную черту, а остаток, 5, ставя над третьим периодом. Затем прибавляем к 5103 утроенное 281, внося результат, 5946, в третий столбец; отмечаем для себя, что он меньше делителя. Затем суммируем второй столбец снизу вплоть до ближайшей двойной черты и вносим результат, 281, в графу «Частное». Теперь берём 5946 как новый первый период, а конечный период, 826, как новый второй период, и продолжаем как ранее следующим образом. Проводим двойную черту по 5946 и делим его на 7, внося частное, 849, под двойную черту, а остаток, 3, ставя над конечным периодом. Теперь прибавляем к 3826 утроенное 849, внося результат, 6373, который, как можно было предвидеть, непременно будет меньше делителя, в ячейку «Остаток». Затем суммируем третий столбец снизу вплоть до ближайшей двойной черты и вносим результат, 849, конечным периодом в графу «Частное».
Было бы неплохо разъяснить действительную сущность трёх процедур, описанных в девятом предложении предыдущего абзаца, а именно 1) вносим 1 в первый столбец, 2) трижды 1 — во второй, 3) приплюсовываем это новое значение, не забывая вычесть 7000. Сущность 2) и 3), взятых в совокупности, заключается в увеличении второго столбца на 3 и в уменьшении его на 7000, то есть в уменьшении его на 7000 – 3, что равняется 6997. Сущность же 1) заключается в оправдании этого 6997, вычтенного, таким образом, из остатка (а последний тем самым оказался сведён к настоящему остатку), добавлением единицы к частному (которое, таким образом, превращается в настоящее частное).
Правило для случая (3) при знаке «+» может быть выведено из вышеизложенного правила простой заменой знака при k. Это, однако, вводит одно новое явление, которое должно быть предусмотрено следующей дополнительной оговоркой.
Когда вы прибавляете ко второму периоду, [взятому вместе] с его префиксом, число из первого столбца, увеличенное в (– k) раз, то есть когда вы вычитаете увеличенное в k раз это число из второго периода, [взятого вместе] с его префиксом, иногда может случиться так, что вычитаемое превосходит уменьшаемое. В этом случае вычитание будет оканчиваться цифрой-минус, которую можно пометить звёздочкой. Теперь ищем, какое количество наших делителей следует прибавить ко второму столбцу, чтобы погасить эту цифру-минус, и вносим это количество, помеченное звёздочкой, в первый столбец, а это кратное нашего делителя — во второй; затем проводим черту под вторым столбцом и приплюсовываем это новое значение.
В качестве примера возьмём новое делимое, но оставим прежний делитель, изменив знак при k, так что делителем станет число 7003 (то есть 7t3 + 3). Наша задача, подготовленная для решения, будет выглядеть так:
По окончании решения вид у неё будет такой:
Начало хода рассуждения таково.
Делим 6504 на 7 и вносим частное от деления, 929, в первый столбец, а остаток, 1, пишем поверх второго периода. Затем вычитаем из 1318 утроенное 929, внося результат во второй столбец следующим образом. «27 из 8 [вычесть] нельзя, но 27 из 28 будет 1». Вносим 1, занятое 2 в уме. «8 из 1 [вычесть] нельзя, но 8 из 11 будет 3». Вносим 3, занятое 1 в уме. «28 из 3 [вычесть] нельзя, но 28 из 33 будет пять». Вносим 5, занятое 3 в уме. «3 из 1 будет минус 2». Вносим его со звёздочкой. Отметив, что для погашения этого минус 2 достаточно будет прибавить делитель единожды, вносим (–1) в первый столбец, а 7003 — во второй; затем проводим черту под вторым столбцом и приплюсовываем это новое значение; в итоге получаем 5534. Затем суммируем первый столбец снизу доверху и вносим результат, 928, в графу «Частное». Теперь берём 5534 как новый первый период, а третий период, 972, как новый второй период, и продолжаем как ранее [9], следующим образом. Проводим двойную черту под 5534 и делим его на 7, внося частное от деления, 790, под двойную черту, а остаток, 4, ставя над третьим периодом. Затем вычитаем из 4972 утроенное 790, занося результат, 2602, в третий столбец; отмечаем для себя, что он не содержит цифр-минус. Затем суммируем второй столбец снизу вплоть до ближайшей двойной черты и вносим результат, 790, в графу «Частное». Теперь берём 2602 как новый первый период, а конечный период, 526, как новый второй период, и продолжаем как ранее следующим образом. Проводим двойную черту по 2692 и делим его на 7, внося частное, 371, под двойную черту, а остаток, 5, ставя над конечным периодом. Затем вычитаем из 2556 утроенное 371, занося результат, 4413, который, как можно было предвидеть, непременно будет меньше делителя, в ячейку «Остаток». Затем суммируем третий столбец снизу вплоть до ближайшей двойной черты и заносим результат, 371, конечным периодом в графу «Частное».
Правила для случая (1) могут быть выведены из вышеизложенного, принимая k = 1, а для случая (2) — принимая h = 1. Ниже я дам решённые примеры, а давать мысленные рассуждения здесь нужды нет.
Приняв k = 1, мы получаем делитель вида htn + 1; выберем делители 11t4 – 1 и 6t5 + 1.
В этом последнем примере нет нужды вносить частное от деления 7239 на 7 в первый столбец; и так легко предвидеть, что число поверх второго столбца будет меньше нашего делителя, так что в первом столбце новых значений не появится; следовательно, мы сразу вносим 1206 в графу «Частное».
Принимая h = 1, получаем делители вида tn ± k; возьмём делители t4 – 7 и t5 + 12.
Первую из этих двух задач я привёл для того, чтобы проиллюстрировать открытый мистером Коллингвудом способ решения для делителей вида tn – k.
Читателю, возможно, интересно будет взглянуть на три способа решения вышеприведённого примера — обычное деление в столбик, способ мистера Коллингвуда и мою версию последнего — ради сравнения того количества усилий, которые каждый из них требует для своего решения:
Я предполагаю, что всякий, кто станет решать это пример обычным делением, начнёт с создания таблицы кратных числа 9993 для справок, так что совершать умножения ему не придётся. Тем не менее, большое количество сложений и вычитаний, которые ему придётся совершать, влекущее гораздо больший риск ошибиться, чем каждый из двух других способов, вполне перевесит это преимущество.
Но какая бы из упомянутых процедур не привлекалась для деления длинных чисел, весьма желательно получить быстро и легко применимый способ проверки правильности ответа. В обычном случае для проверки перемножают частное с делителем, прибавляют остаток и смотрят, не будет ли всё вместе, как это и положено, образовывать исходное число.
Так, если N– это данное число, D–делитель, Q–частное, а R — остаток, то должно получиться:
N = DQ + R.
Этот способ проверки особенно легко применим, когда D = htn ± k, поскольку тогда должно быть:
N = (htn ± k)Q + R = (hQtn + R) ± kQ.
Теперь, hQtn можно найти умножением Q на h с присоединением n нулей. Следовательно, выражение hQtn + R находится подстановкой R на место этих n нулей. Если R содержит менее n цифр, недостающие вставляются перед ним нулями; если более, то избыточные следует перенести в следующий разряд и прибавить к hQ.
