Но совсем недавно мне пришло на ум выяснить, что будет, если после нахождения остатка поместить этот последний вместо того нуля над или под разрядом единиц, а затем вычесть как ранее. Меня поразило открытие того факта, что прежний результат повторился: конечное вычитание принесло 0 в остатке, а новая строка, по отбрасывании её разряда единиц, оказалась требуемым частным.
Существует, далее, более короткая процедура получения «остатка-9» и «остатка-11» некоторого данного числа, чем моё правило вычитания (процедура нахождения «остатка-11» есть ещё одно моё открытие). Усвоив её, я 28 сентября 1897 года довёл моё правило до завершения (я записал точную дату, поскольку это так приятно — быть открывателем новой и, как я надеюсь, практически полезной истины).
(1) Правило нахождения частного и остатка от деления данного числа на 9.
Чтобы найти «остаток-9», суммируем цифры; затем суммируем цифры результата и так далее, пока не останется единственная цифра. Если она будет меньше 9, это и будет искомый остаток; если это будет 9, искомый остаток равен нулю.
Чтобы найти «частное-9», проводим черту под нашим числом и ставим его «остаток-9» под разрядом единиц; затем вычитаем верхнее из нижнего, ставя разность под следующей цифрой, и так далее. Если крайняя левая цифра нашего числа меньше, чем 9, при её вычитании мы должны получить в остатке 0; если же она равна 9, мы должны получить в остатке 1, поставить в нижнюю строку да вычесть 1 заимствованное, что даёт в остатке 0. Теперь отчеркнём наш «остаток-9» на правом конце нижней строки, и оставшееся в ней будет «частным-9».
Примеры.
(2) Правило нахождения частного и остатка от деления данного числа на 11.
Чтобы найти «остаток-11», начинаем от разряда единиц и суммируем первую, третью и т. д. цифры, а также вторую, четвёртую и т. д.; находим «остаток-11» по разности этих сумм. Если первая сумма — большая, полученное таким образом число и будет искомым остатком; если же первая сумма — меньшая, искомый остаток будет разностью между полученным числом и числом «11»; если суммы равны, он есть 0.
Чтобы найти «частное-11», проводим черту под нашим числом и ставим его «остаток-11» под разрядом единиц; затем вычитаем <обычным порядком>, ставя разность под следующей цифрой, и так далее. Конечное вычитание должно дать в остатке 0. Теперь отчеркнём наш «остаток-11» на правом конце нижней строки, и оставшееся будет «частным-11».
Примеры.
Эти новые Правила имеют ещё одно преимущество перед правилом подлинного деления, а именно что конечное вычитание обеспечивает нас критерием корректности результата: если оно не даёт в остатке 0, суммирование выполнено неверно, а если даёт, то либо суммирование выполнено верно, либо мы допустили две ошибки, — случай редкий.
Математикам не нужно и говорить, что правила, аналогичные вышеизложенным, с необходимостью будут действовать и для таких делителей, как 99, 101, 999, 1001 и т. д. Единственное видоизменение, которое необходимо будет внести — это разбить данное число на периоды по две или более цифр и обращаться с каждым таким периодом точно так же, как вышеизложенные правила требовали поступать с отдельными цифрами. Вот, для примера, целиком решение, требуемое для деления двух данных чисел на 999 и на 1001:
В первом из этих примеров число 2|437, написанное поверх, есть сумма по периодам. Поскольку она содержит 2 периода, поступаем с ней тем же образом, и итог, число 439, есть «остаток-999».
Во втором примере число 1|2269, написанное поверх, есть сумма первого и третьего периодов; число же 1383 есть сумма второго и четвёртого. Разность этих сумм равна 10886, чей «остаток-10001» равен 885 [5].
§2. Делитель вида (h10n ± k), в котором по крайней мере одно из двух чисел, h и k, больше 1 [6]
Способ, к которому мы приступаем теперь, приложим к трём отличным случаям:
(1) когда h > 1, k = 1;
(2) когда h = 1, k > 1;
(3) когда h > 1, k > 1.
При определённых ограничениях в отношении величин h, k и n, этот Способ окажется более короткой и более надёжной процедурой, чем обычное деление столбиком. Ограничения эти таковы: ни h, ни k не должны превышать 12, и когда k > 1, n не должно быть меньше, чем 3; вне этих ограничений нашему Способу присущи трудности, которые делают предпочтительной обычную процедуру.
При данном Способе требуются две раздельные процедуры — одна предназначена для случаев, когда h > 1, другая же для случаев, когда k > 1. Первая из этих процедур была, я полагаю, впервые открыта мной, а вторая — моим племянником, мистером Бертрамом Дж. Коллингвудом, который сообщил мне свой Способ, пригодный для делителей вида 10n – k.
В нижеследующем изложении я заменяю «10» буквой t [7].
Способ мистера Коллингвуда для делителей вида tn – k может быть изложен следующим образом:
«Чтобы разделить данное число на tn – k, отделяем в нём период из n цифр, начиная от разряда единиц, а затем записываем под ним увеличенное в k раз число, остающееся от первоначального при вычёркивании этого периода. Если это число содержит более чем n цифр, поступаем с ним тем же образом — и так далее, пока не будет достигнуто число, содержащее менее n цифр. Затем всё суммируем снизу доверху. Если последний период итога плюс увеличенная в k раз цифра, что была заимствована у него в процессе суммирования, будет меньше, чем наш делитель, то это и есть искомый остаток; оставшаяся часть итога есть искомое частное. Если этот [период] не меньше [делителя], то находим, какое количество раз он вмещает делитель, прибавляем это количество к частному и вычитаем это кратное делителя из остатка».
Например, чтобы разделить число 86781592485703152764092 на 9993 (то есть на t4 – 7), действуем так:
Этот новый Способ лучше всего прояснить, если начать со случая (3); легко будет видеть, какие изменения следует в нём произвести, когда дело перейдёт на случаи (1) и (2).
Правило для случая (3) и при знаке «–», может быть изложено так.
Разбить делимое, начиная с разряда единиц, на периоды по n цифр. При наличии с левой стороны избытка, меньшего, чем h, его не отграничивать, но отнести его и соседние n цифр к одному периоду.
Чтобы выстроить всю задачу, записываем делитель перед идущей за ним двойной вертикальной чертой, далее записываем делимое, разбитое на соответствующие периоды одинарными вертикальными чертами так, чтобы каждое пространство от черты до черты вмещало по n + 2 цифры. Под делимым проводим одинарную черту, а ещё ниже — двойную, оставив между ними пространство для внесения частного с расположением его разряда единиц под таковым предпоследнего периода делимого, а также остатка с расположением его разряда единиц под таковым последнего периода делимого. В этом пространстве и в пространстве ниже двойной черты проводим вертикальные черты, соответствующие таковым в делимом; а последнюю в верхнем пространстве делаем двойной, чтобы отделить частное от остатка.
Например, если нам нужно разделить число 5984407103826 на 6997 (то есть на 7t3 – 3), то вся задача, подготовленная для решения, будет выглядеть так:
Чтобы решить этот пример, разделим первый период на h, внесём частное от этого деления в первый столбец под двойной линией и поместим остаток от него над вторым периодом, где он будет выполнять роль префикса к этому периоду. Ко второму периоду с его префиксом прибавим увеличенное в k раз число из первого столбца и внесём результат в верхнюю ячейку второго столбца [под двойной чертой]. Если это число не меньше, чем наш делитель, то найдём, какое количество раз оно вмещает делитель и внесём это количество в первый столбец и его же, увеличенное в k раз, во второй; затем проведём черту под вторым столбцом и приплюсуем это новое значение, вычитая из результата число, только что введённое в первую колонку, увеличенное в tn раз; а затем просуммируем первую колонку, вписывая результат в графу «Частное». Если число вверху второй колонки меньше, чем делитель, то число в первой колонке можно вносить в «Частное» сразу же. Число, внесённое в графу «Частное», и число в самом низу второй колонки суть наши частное и остаток, которые получились бы, если бы делимое оканчивалось своим вторым периодом. Теперь возьмём число, что в самом низу второй колонки, как новый второй период, и третий период как новый второй период и продолжим как ранее.
