href="ch3.xhtml#id113" class="a">
{113}, например, теоремы Пифагора (Евкл. 1,47).
Завершая наш обзор пифагорейской математики первой половины V в. до н. э., обратим внимание еще на два обстоятельства. Во-первых, пифагорейцами были созданы отдельные части и других книг Евклида, например, IX (учение о четном и нечетном и совершенные числа) и XIII (построение трех правильных многогранников). Ван дер Варден даже полагает, что им принадлежит VII книга — первая из арифметических книг «Начал». Он убедительно доказывает, что VII книга была создана до Архита (рубеж V–IV; вв. до н. э.), однако не исключена вероятность, что ее автором является Феодор из Кирены, ровесник Гиппократа. Феодор тоже был пифагорейцем (его упоминает Аристоксен в своем каталоге), но его деятельность уже выходит за рамки занимающей нас сейчас эпохи.
Во-вторых, далеко не все положения, вошедшие в первые четыре книги Евклида, появились в период между Гиппасом, и Гиппократом. Часть из них была доказана еще Фалесом и Пифагором, а возможно, и какими-то другими математиками VI в. до н. э. Имя одного из них известно — это Мамерк, брат известного поэта Стесихора. К сожалению, о его конкретном вкладе в математику мы ничего не знаем. Наконец, маловероятно, чтобы с Гиппасом можно было связывать лишь те открытия, которые ему приписывает традиция — математик такого уровня должен был сделать гораздо больше.
«Геометрическая алгебра» и Вавилон
Исследуя II книгу Евклида, математики еще в XVII в. Обнаружили, что ее предложения могут быть переформулированы алгебраически, в виде тождеств 86 и квадратных уравнений. Так, например, предложение II, 2 можно рассматривать как тождество (а+b)с=ас+bс, а приложение площадей с недостатком в алгебраической интерпретаций сводится к решению квадратного уравнения ах-х2 = b2. Со времени Г. Цейтена (рубеж XIX–XX вв.) задачи II книги и сходные с ними предложения VI книги принято называть «геометрической алгеброй» и видеть в ней геометрическую переформулировку алгебраических проблем {114}.
Особое значение этот вопрос приобрел после того, как было показано, что вавилоняне еще во II тыс. до н. э. умели решать основные типы квадратных уравнений, содержащиеся во II книге. Это побудило О. Нейгебауэра считать, что греки заимствовали вавилонские методы, переформулировав их геометрически {115}.Б. Л. ван дер Варден же настаивает на том, что это сделал не кто иной, как Пифагор — единственный из пифагорейцев, кого традиция связывает с Востоком {116}.Эквивалентность обоих методов — греческого и вавилонского— сомнения, не вызывает, но объяснить ее можно как их генетическим родством, так и типологическим сходством. Какой путь предпочтительнее?
В первом случае необходимо доказать, что: 1) теоремы II книги были переформулированы с алгебраического языка на геометрический, а не просто, что их можно переформулировать. алгебраически; 2) Пифагор или какой-то другой математик VI–V вв. до н. э. действительно побывал в Вавилоне и обучился местной математике; 3) в то время реально существовала возможность перевода вавилонских методов на язык геометрии.
Доказательство каждого из этих, пунктов наталкивается на очень серьезные трудности. Все больше историков математики склоняется к тому, что приложение площадей вовсе не было переформулировкой алгебраических методов и что оно возникло в ходе решения чисто геометрических проблем {117}. Сам термин «алгебра» применительно к грекам того времени, а тем более к вавилонянам звучит неточно. Алгебры не было ни у тех, ни у других, а была арифметика у вавилонян и геометрия у греков. С‘ их помощью они решали те проблемы, которые, начиная по крайней мере с XV в., стали решать алгебраически.
Вавилонские решения сложны, требуют специального интереса и специальной же подготовки. Для их передачи нужен был человек, который помимо способности к математике обладал бы знанием аккадского языка и письменности и сумел бы устроиться в обучение к какому-нибудь вавилонскому писцу, причем на длительное время. Ничего подобного мы не знаем ни о Пифагоре, ни о каком-либо другом ученом — той эпохи.
Наконец, можно ли представить, что за две с лишним тысячи лет до того, как Декарт создал аналитическую геометрию, нашелся человек, сумевший перевести вавилонские уравнения на язык геометрии? {118} Это кажется почти невероятным.
Ван дер Вардену столь же невероятным кажется случайное совпадение греческих приемов с вавилонскими. Но резонно ли за сходством отдельных математических положений непременно видеть чье-то заимствование, а не результат независимого развития? Основы математики носят универсальный характер и коренятся в способности человеческого разума к логическому постижению объективного строения мира. Если математики разных культур, отталкиваясь от этих универсальных принципов, приходят к сходным результатам, это сходство само по себе не может быть аргументом в пользу заимствования. Например, в древнекитайской математике есть задачи, очень похожие на те, которые содержатся во II книге Евклида, причем, по всей видимости, они возникли без всякого влияния греков {119}.
Обнаружив в разных концах земного шара два сосуда одинаковой формы, расцветки и узора, мы, конечно, будем предполагать некую связь между ними, ибо этого сходства могло и не быть и оно требует какого-то объяснения. Если же в Египте и Китае мы находим одинаковую формулу объема усеченной пирамиды с квадратным основанием, то искать здесь «влияние или общий источник вовсе не обязательно. Существует только одна верная формула данного объема, и тот, кто ее захочет найти, вполне может это сделать. На мысль о внешних влияниях нас могут навести либо факты, говорящие о том, что какой-то из этих народов был не в состоянии самостоятельно вывести эту формулу, либо такое совпадение частных деталей, которое трудно объяснить независимым развитием, При отсутствии этих фактов нет оснований сомневаться в самостоятельности математиков обеих культур.
Музыка, гармоника, акустика
Пожалуй, никакому другому искусству греки не посвящали столько специальных сочинений, как музыке. До нас дошли музыкально-теоретические трактаты Аристоксена, Евклида, Клеонида, Никомаха из Герасы, Птолемея, Аристида Квинтилиана, Гауденция и др. Некоторые музыковедческие трактаты анонимны или приписываются знаменитостям, например, Аристотелю или Плутарху. Множество других известно только по фрагментам или названиям. Автором первого специального сочинения о музыке считают Ласа из Гермионы, современника Пифагора, а через тысячу лет после него один из последних представителей античной учености римлянин Боэций свел в своем труде «О музыкальном учении» большую часть того, что было сделано греками в этой области.
То, что греки писали о музыке, не совсем соответствует характеру сегодняшнего искусствоведения. «Античное музыкознание в отличие от современного не ставило своей задачей анализ конкретных музыкальных сторон произведений. Оно видело свою задачу в изучении акустических сторон звучащей музыки. Характерной чертой античной науки о музыке было стремление к математическому описанию акустических особенностей музыкальной практики» {120}.
Установление пифагорейцами связи между
