Не исключено, что нечто подобное произошло и в Древнем Египте. Египтяне эпохи Среднего царства вполне могли утратить знание числа π, которым обладали их предки эпохи Древнего царства, и создать в качестве его замены принцип секед.
Гипотеза о правиле секед невольно побуждает нас выказать интригующее предположение: число я было не единственной математической константой, известной египтянам эпохи Древнего царства.
Золотое сечение
Эту константу с эпохи Возрождения принято называть принципом золотого сечения, или ф (фи), ф - это не число, которое можно вычислить арифметическим путем, а параметр, определяемый с помощью компаса и линейки. Во-первых, проведем линию, условно называемую АС. Затем разделим АС в точке В таким образом, что АС/ВС = АВ/ВС. Другими словами, отношение всей длины этой линии к большему ее отрезку точно такое же, как и отношение большего отрезка к меньшему. Оба отношения выражаются величиной ф, которая составляет 1,618033988749895... Эту иррациональную и бесконечную величину называют по-разному: золотое сечение, золотая середина, первичное сечение, Божественная пропорция. Ф можно наглядно показать с помощью геометрии квадрата. Возьмем квадрат, сторона которого равна 1, и разделим его пополам от одной противолежащей стороны до другой. У нас получатся два прямоугольника 1 х ( 1/2). Диагональ одного из этих прямоугольников плюс 1/2 и будет равна ф. Давайте обозначим эту диагональ как Wu применим в отношении ее теорему Пифагора. Теперь мы знаем отношение W к двум другим сторонам: W2 = 12 + (1 /2)2. Эту формулу можно записать и как W2 = 1,25; таким образом, W = √1.25 и ф = √1.25 + (1 /2). Однако √1.25 можно умножить на 1 в форме √4/2, чтобы получить √4x1.25 / 2 = √5 / 2. Теперь подставим √5/2 вместо √1.25 в уравнение ф = √1.25+ 1/2,и получим ф = (1 + √5) / 2.
Одна из самых удивительных особенностей ф заключается в том, что 1 + ф = ф2. Выполните простые алгебраические действия с этим уравнением, и вы получите (1/ф) + 1 = ф, уравнение, которое ведет к получению дополнительного ряда чисел, известного как последовательность Фибоначчи. Своим названием эта последовательность обязана имени одного из крупнейших математических гениев эпохи Средневековья - Леонардо Фибоначчи (ок 1170—1240), итальянского ученого, известного также под именем Леонардо Пизанский. Именно Фибоначчи познакомил европейцев с индийско-арабскими цифрами, которыми мы пользуемся сегодня. Он совершил длительное путешествие в Египет и внимательно изучал математические принципы и методы, встречавшиеся ему в дальних краях. Вполне возможно, что именно в Египте Фибоначчи нашел ту самую последовательность, которая сегодня носит его имя, и обнаружил ее взаимосвязь с числами пиф.
Последовательность Фибоначчи выглядит достаточно просто: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55... Каждое из этих чисел после первой 1 представляет собой сумму двух предыдущих. Весьма интригующим здесь представляется тот факт, что отношение каждого последующего числа к предыдущему является приближенным значением ф. По мере продвижения по этой последовательности степень приближения становится все более и более точной. Так, отношение 1 к 1 равно 1, 3 к 2 - 1,5, 5кЗ - 1,666, и к тому моменту, когда вы достигнете отношения 55 к 34, вы получите величину 1,61747, что очень близко к точному значению ф = 1,6180339.
На протяжении последовательности Фибоначчи значение ф демонстрирует немало любопытных естественных закономерностей, например, кривая роста раковины моллюска наутилус (кораблик), схема размещения семян в цветках подсолнечника или астры, и даже структура спиральной галактики. Платон в своем диалоге «Тимей» - том самом, в котором упоминается об Атлантиде, - говорит, что золотое сечение представляет собой одно из наиболее универсальных математических отношений и что оно является своего рода ключом к физике космоса в целом. Кроме того, золотое сечение является важным композиционным элементом на картинах многих живописцев эпохи Возрождения, включая произведения Фра Филиппо Липпи (1406—1469), Леонардо да Винчи (1452—1519) и Рафаэля (1483—1520). Оно образует композиционную основу для систему координат, которой пользовался Ле Корбюзье (1887—1965), великий швейцарский математик, спроектировавший, помимо прочих построек, здание штаб-квартиры ООН в Нью-Йорке.
Афиняне классической эпохи использовали золотое сечение при возведении Акрополя, а сложные математические расчеты, стоящие за ним, связаны с именами великих греческих геометров Пифагора (ок. 569—475 гг. до н.э.) и Эвклида (ок 325—265 гг. до н.э.). Однако Великая пирамида и другие монументы свидетельствуют о том, что египтяне Древнего царства знали о существовании золотого сечения (ф) и его связи с числом тс более чем за 2 тысячелетия до великих греков.
Возможно, первым автором, высказавшим это предположение, был Рене Шваллер де Любич (1887—1961), эльзасский математик и философ, чьи наблюдения за характером водной эрозии на основании Большого Сфинкса оказались едва ли не главной причиной моего первого приезда в Гизу. Рассмотрим, к примеру, рельеф, который изучал Шваллер и который находится на восточной стороне храма в Луксоре. Этот рельеф привлек его внимание куда больше, чем любое другое сооружение в Древнем Египте. На рельефе изображена группа жрецов, вносящих солнечную ладью царя через ворота храма в Карнаке. Согласно расчетам Шваллера, если ширину ворот от одной стенки до другой с внешней стороны принять за 1, то внешняя высота ворот будет равна 2; в то же время если ширину ворот от одной стенки до другой с внутренней стороны принять равной 1, то высота ворот с внутренней стороны будет составлять ф2 х 1,2 =3,1416.
Таким образом, здесь перед нами - значение числа тс; это свидетельствует о том, что древние египтяне знали не только числа тс и ф, но и соотношение между ними, выражающееся формулой тс = ф2 х 6/5. Возьмем два приближенных значения ф из последовательности Фибоначчи и подставим их в это уравнение; у нас получится достаточно хорошее приближенное значение тс (приближенные значения я, как и ф, становятся все более точными по мере продвижения последовательности Фибоначчи к большим числам). Это дает нам по меньшей мере одно приближение л, несомненно использованное в Великой пирамиде, а именно (34/21) х (55/34) х (6/5) = (55/21) х (6/5) = ( 11 /21) х 6 = 66/21 = 22/7.
По мнению самого Шваллера, его открытие в большей мере, чем на чем-либо еще, основано на знании ф в эпоху Древнего царства. На многих изображениях египетских фараонов владыки предстают в курьезном одеянии - треугольной набедренной повязке. Шваллер де Любич провел измерения углов такой повязки на множестве изображений и неизменно получал одни и те же величины: ф и √ф. Итак, это - отнюдь не символическое совпадение, что подобная набедренная повязка выбрана для визуального показа ф[90] . Учитывая важность ф для выражения пропорций всевозможных реалий материального мира, от спирали раковины моллюска наутилуса до спиральной галактики, это числовое отношение считалось семенем силы Вселенной. Другими словами, ф имело фаллический характер.
Шваллер также утверждает, что ф присутствует в сечении Великой пирамиды, представляющем собой треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной его основания и апофемой. Если половина основания равна 1, то апофема -это ф, а высота - √/ф. Таким образом, поперечное сечение Великой пирамиды выражает те же самые углы, что и набедренная повязка фараона, и отражает тот же маскулинный (мужской) принцип семени, творящего все формы и образы.
Ливио Катулло Стеччини, ученый-классик, одержимый идеей измерений и мер, с которым мы встречались в Главе 7, выдвинул дополнительный аргумент в пользу присутствия принципа ф в Великой пирамиде и его связи с числом к. Большинство исследователей Великой пирамиды утверждали, что это грандиозное сооружение было спланировано так, что его основание представляет собой идеальный квадрат, а стороны поднимаются к вершине пирамиды под безукоризненно одинаковыми углами. Стеччини взял под сомнение эти устоявшиеся постулаты. Он считал, что исходной точкой для построения пирамиды могло быть основание длиной в 440 локтей при высоте 280 локтей, но затем, в процессе строительства, эти исходные пропорции могли быть изменены. Длина каждой из сторон основания была чуть уменьшена и в итоге составила 439,5 локтя, а периметр Великой пирамиды предположительно должен был составлять 1758 локтей (921,453 м). Как вы, надеюсь, помните, в Главе 7 сказано, что, по утверждению Стеччини, эта цифра эквивалентна 0,5 минуты широты на экваторе. Древние египтяне высчитали, что эта величина составляет 3516 локтей, что в пересчете равно 1842,905 м. Это чрезвычайно близко к современным расчетам - 1842,925 м.
Но Стеччини пошел еще дальше. Обмеры Коула, проведенные в 1925 году, показали, что Великая пирамида не является в плане идеальным квадратом. Большинство египтологов приписывают эти неодинаковые размеры сторон случайности или неточности. В конце концов, крайне трудно сложить столь грандиозную груду камней с точностью до одного или двух локтей. Однако Стеччини доказывает, что размеры Великой пирамиды специально отклоняются от идеального квадрата и что причиной этих различий как раз и являются числа π и ф.
