Юрий Казаринов - Успешный менеджер: кейс-стади по принятию решений. Учебно-методическое пособие

Дерево представляет собой связный граф без циклов, имеющий исходную вершину (корень) и крайние вершины; пути от исходной вершины к крайним вершинам называются ветвями. Сеть – это ориентированный конечный связный граф, имеющий начальную вершину (источник) и конечную вершину (сток). Таким образом, сетевая модель представляет собой граф вида «сеть».

Рис. 2. Сетевая модель, состоящая из 11 событий и 16 работ, продолжительность выполнения которых указана над работами[27].

Объектом управления в системах сетевого планирования и управления являются коллективы исполнителей, располагающих определенными ресурсами и выполняющих определенный комплекс операций, который призван обеспечить достижение намеченной цели – реализации иерархического решения (целевой программы).

Сетевая модель включает сетевой график и характеристики. Сетевой график – это частный случай ориентированного графа. Если вершинами графа являются события, а связи между ними (ребра графа) – работы, то это американская схема представления сетевого графика. Если наоборот, то это французская схема. Ниже будет рассматриваться первая схема (см. рис. 2).

При графическом представлении работа изображается стрелкой, которая соединяет два события. Она обозначается парой заключенных в скобки чисел (i, j), где i – номер события, из которого работа выходит, а j – номер события, в которое она входит. Работа не может начаться раньше, чем свершится событие, из которого она выходит. Каждая работа имеет определенную продолжительность t (i, j). К работам относятся также такие процессы, которые не требуют ни ресурсов, ни времени выполнения. Они заключаются в установлении логической взаимосвязи работ и показывают, что одна из них непосредственно зависит от другой; такие работы называются фиктивными и на графике изображаются пунктирными стрелками.

Событиями называются результаты выполнения одной или нескольких работ. Они не имеют протяженности во времени. Событие свершается в тот момент, когда оканчивается последняя из работ, входящая в него.

К работам сетевого графика относятся:

● трудовые процессы, требующие затрат времени и ресурсов;

● ожидание, не требующее ресурсов;

● логические связи, не требующие ни затрат времени, ни ресурсов.

Построение сетевого графика требует детализации мероприятий на работы и упорядочения работ во времени и между собой.

Для этого вводится отношение предшествования на парах работ и строится матрица смежности (матрица парных сравнения всех работ между собой). По этой матрице компьютер, используя соответствующий софт, выдает структуру сетевого графика.

На предприятии ОПК, где культура сетевого планирования и управления очень высока, сетевой график включает примерно 60 тыс. работ

Входными данными сетевой модели являются: взаимосвязь работ (структура сети); временные оценки работ; ресурсные оценки работ.

Время выполнения работ определяется по нормативам, статистическим данным или экспертно. В общем случае время выполнения каждой работы рассматривается как случайная величина. Экспериментальными и теоретическими исследованиями показано, что случайное время выполнения работ хорошо апроксимируется законом распределения вероятностей типа β-распределения. Его плотность является непрерывной унимодальной функцией с формой графика (рис. 3), задаваемого двумя параметрами: α и β.

Рис. 3. График плотности бета-распределения при α = 5 и β = 2

Математическое ожидание (среднее) времени выполнения работ и дисперсия вычисляются при β-распределении по формулам:

Для проведения расчетов исходной информацией являются оценки tmax и tmin, определяемые по статистическим данным или экспертным путем.

Если имеется нормативное время выполнения работы tN, то

tN = tmin = tmax = tож = tср; D = 0.

Ресурсы на выполнение работ определяются либо по нормативам, либо экспертно. Нужно иметь зависимость tср = tож =  φ(R), где R – ресурс.

Эти графики нужны в целях корректировки сетевой модели для выполнения программы в директивный срок с заданной вероятностью. Введение вероятностной модели (учет рисков) повышает точность оценок.

Задано директивное время выполнения целевой программы Тд. Нужно подсчитать вероятность того, что Ткр как случайная величина будет меньше Тд, т. е. Р(Ткр≤Тд), где Ткр≤Тд – случайное событие.

Критическое время выполнения программы:

где ti – время выполнения работы, лежащей на критическом пути ().

Время выполнения i-й работы ti – случайная величина, распределенная по β-закону и характеризуемая M(t) и D(t). Следовательно, Тк как сумма случайных величин тоже является случайной величиной.

Известно, что сумма большого числа (уже больше 10–15) примерно одинаковых по значению случайных величин, каждая из которых имеет распределение вероятностей, подчинена нормальному закону. Это следует из центральной предельной теоремы – одного из фундаментальных результатов теории вероятностей

Поэтому закон распределения вероятностей случайной величины Ткр – нормальный и визуально представляется, например, так (см. рис. 4):

Рис. 4. График нормального распределения времени выполнения работы

Кривая нормального закона строится по двум характеристикам: Мкр – математическое ожидание и Dкр – дисперсия.

Здесь

Таким образом необходимо определить вероятность

Лицо, принимающее решение, должно само определить допустимую вероятность Р выполнения целевой программы в директивный срок.

В теории вероятностей считается, что если событие имеет вероятность ≥ 0,9, то это событие считается практически достоверным.

Формальная запись этого: Р (Ткр≤Тд) ≥ Р0, где Р0 – допустимая вероятность выполнения конкретной целевой программы (например, 0,95).

Значение априорной конкретной вероятности: Р (Ткр≤Тд) = Φ (z), где z = (Тд– М(Ткр)) / D(Tкр), а далее по таблице берется значение Φ (z).

Расчеты по определению вероятностей проводятся на компьютере автоматически, и единственной исходной информацией для этого являются значения tmin и tmax выполнения каждой работы.

При расчете вероятностей лицо, принимающее решение, может сталкиваться с некоторыми ситуациями принятия решений, например:

Ситуация 1. В результате расчетов оказалось, что Р (Ткр≤Тд) ≥ Р0. Здесь никакого решения принимать не нужно.

Ситуация 2. В результате расчетов оказалось, что Р (Ткр≤Тд) < Р0. Здесь нужно принять решение для того, чтобы Р (Ткр≤Тд) ≥ Р0.

В этом случае возможны варианты решения:

– уменьшить М (Ткр) за счет выделения ресурсов из резерва;

– уменьшить М (Ткр) за счет распараллеливания работ, лежащих на критическом пути, что потребует ресурсов;

– уменьшить М (Ткр) за счет «перекачки» ресурсов с работ, не лежащих на критическом пути, на работы, лежащие на критическом пути;

– уменьшить D (Tкр) за счет увеличения потребления или перераспределения ресурсов, т. е. уменьшения неопределенности сроков выполнения работ