Но при умножении двузначных чисел также следует понимать, как числа выстраиваются в систему разрядов. Когда мы делаем первый шаг в решении этой задачи (умножая 2 на 12), множитель 2 относится к разряду единиц, а множимое – к разряду десятков. Следовательно, умножая 2 на 12, мы фактически производим два действия умножения: 2 × 2 и 10 × 2. На втором этапе, когда наши действия выглядят так, будто мы умножаем 1 × 12, на самом деле мы умножаем 10 на 12. В результате получаем 120. Записывая наши действия, мы опускаем ноль во второй части промежуточного произведения, но в действительности мы его учитываем. Люди условились так делать, и эта условность отражает тот факт, что при умножении двузначных чисел вторая часть произведения – всегда сотни. Последний ноль мы не записываем, но второе промежуточное произведение должно быть вписано со смещением на одну клеточку влево от первого промежуточного произведения.
Описанная версия умножения – такой же «фильтрованный концентрат», что и в примере выше, но в логике версии математических знаний это два разных «концентрата». В первом во главу угла поставлены математические операции – они подаются как самая суть математики; во втором предлагается продуманное перечисление того, как эти процедуры работают и почему. Первый далек от практики математического исследования, поскольку демонстрирует лишь отдельные готовые результаты; второй ближе к исследовательской стилистике, но лишь отчасти: ученики слышат подробные разъяснения, но все-таки у них скорее нет возможности проделать аналогичный путь самостоятельно и, таким образом, интериоризировать знание.
Некоторые преподаватели истории также дополняют деталями уже готовые интерпретации вместо того, чтобы предлагать ученикам взвесить факты, структурировать их и отстаивать свои собственные интерпретации. Такое преподавание остается трансляцией «концентрата» в той же мере, что и в приведенном выше примере, но предлагает иное наполнение. Если в первом случае Холокост предстает в виде тоненькой цепочки дат, мест и событий, то во втором – это плотная ткань интерпретаций происходившего. Учителя обычно считают полноценными обе версии, но сущность объяснений в них кардинально различна: в первой версии – сжатая хронология событий, во втором – законченная аргументация.[79] Вторая версия гораздо более насыщена историческими аргументами, однако практика исторического исследования – сбор и оценка фактов, формулирование гипотез и оценка их достоверности, обобщение фактов, переход к заключительным выводам – скрывается в ней за завесой отшлифованной интерпретации.
Второй подход подразумевает существенные требования к знаниям, навыкам и другим ресурсам учителей, поскольку им необходимо гораздо больше, чем просто знать факты и выполнять с ними базовые операции. Это расширяет и усложняет обучение: когда знания рассматриваются как повод для дискуссии и интерпретации, учителям приходится иметь дело со сложными вопросами. Преподавание становится труднее, потому что новые знания содержат больше неопределенности; но эти трудности хорошо очерчены, так как знания не «распакованы» и, следовательно, учащиеся не могут подступиться к ним с неожиданными вопросами и исследовать самостоятельно.[80] Реферативный обзор гораздо сложнее, чем просто перечень фактов и процедур, но это по-прежнему сжатые знания в готовом виде. Следующее утверждение может показаться парадоксальным и нелогичным: с одной стороны, подача в стиле реферата повышает требования к личностным ресурсам учителей и требует от них большей концентрации внимания, а с другой – снижает их.[81] Когда каждый учитель работает самостоятельно – можно сказать, изолированно (как большинство американских учителей), – контролировать требования к личностным ресурсам для него особенно полезно ввиду отсутствия социальных ресурсов, на которые он мог бы опереться, стремясь держаться вдумчивого стиля преподавания.
Существенно иной подход к передаче знаний демонстрируют преподаватели, трактующие знания как фиксированный набор фактов, но преподносящие их в «распакованном» виде (ячейка 3). При объяснении рассмотренного выше примера умножения 12 × 12 такие преподаватели объединяют аккуратно упакованные «кубики» объяснений с разнообразными наглядными пособиями. Математические действия представляются с помощью бобов или палочек, которыми предлагается пользоваться для облегчения понимания; в такой скромно распакованной версии знаний учителям удается заставить учеников зазубрить материал и отточить до автоматизма навыки практического применения математических правил и фактов. Такой подход дает возможность несколько расширить представления об умножении в рамках фиксированных арифметических знаний. Преподавание подобного рода, похоже, обретает все больше сторонников среди учителей, поскольку усилия по совершенствованию обучения стимулируют разработку новых учебных материалов и методов. Материалы разработаны исходя из аксиомы, что знание надо создать самостоятельно, а не получить в готовом виде и что ученики должны изучить разнообразные примеры, однако учителя склонны использовать их так, будто знание – продукт статичный и однозначный. Все больше и больше учителей начальных классов используют совокупность иллюстративных и иных наглядных материалов при обучении математике, но эти материалы, по-видимому, не изменили взгляд учителей на предмет. Они часто рассматривают новые материалы как процедуры, которыми надо овладеть, – примерно так же, как и задачи в рабочей тетради.[82] Разработчики материалов считают такую работу неадекватной и извращающей смысл материалов, но многие учителя утверждают, что материалы полезны, в том числе потому, что вовлекают в работу учеников.
При такой методике преподавания несколько повышаются требования к знаниям, навыкам и другим ресурсам учителей, и учитель-солист становится в большей степени учителем-педагогом: ему приходится разрабатывать учебные задачи и приводить примеры, которые превращают знания в социальный ресурс и, следовательно, предоставляют учащимся более широкие возможности самостоятельно постигать премудрости. При этом, хотя разнообразие примеров увеличивает вероятность вопросов, поступающих от учеников, учителя этого типа могут отвечать на них в стилистике «факты и заученные операции». Материалы содержат потенциал для более глубокого понимания арифметики, но педагогам не хватает знаний, чтобы в полной мере использовать этот потенциал.
* * *Одна из нитей предложенного здесь обсуждения касается связи преподавания с интеллектуальной деятельностью. Когда учителя предлагают ученикам лишь краткий механический обзор чужих знаний, они невообразимо удаляются от методов, посредством которых знания вырабатываются, критически осмысляются и пересматриваются. Такое преподавание предлагает учащимся лишь плоды чужих исследований, и это снижает требования к знаниям, навыкам и другим личностным ресурсам учителей, но едва ли поможет ученикам овладеть навыками исследования, с помощью которых приобретаются знания. Напротив, некоторые учителя предлагают ученикам попробовать себя в качестве начинающих ученых, создавая, оспаривая и реконструируя знания. Вместо того чтобы вещать прописные истины, учителя углубляют знания такими методами, которые помогают ученикам развивать способность устанавливать истину, то есть научиться тому, как это делается, как и почему это может быть оспорено и чем следует руководствоваться при принятии решения. Этот обогащенный образовательный рацион предлагает учащимся больше возможностей, но предъявляет гораздо более высокие требования к знаниям, навыкам и другим ресурсам учителей и учащихся.
Вторая нить обсуждения такова: отсутствие усилий со стороны педагогов, направленных на продуманное раскрытие знаний, невозможно изменить с помощью простого контроля и нескольких дополнительных инструкций. Для передачи знаний в «распакованном» виде следует отказаться от своего привычного способа получать и удерживать эти знания, а также не придавать слишком большого значения отточенности исполнения. Для того чтобы мастера своего дела в любой сфере действительно могли понять, что испытывают новички, и научиться выявлять и использовать пути, которые бы помогли начинающим прогрессировать, потребуются значительные социальные ресурсы. Восстановление элементов раннего неумелого исполнения и изучение методологических подходов, которые помогут новичкам совершенствоваться, повлекут за собой множество исследований и потребуют дополнительного обучения. Понимание того, как распаковывать знания для учащихся и углублять их, потребует глубокого анализа знаний и преподавательской деятельности, поскольку такая работа неестественна. Педагоги должны также развивать в себе интеллектуальную смелость и склонность к риску, чтобы научиться углублять знания способами, которые повышают неопределенность и приумножают трудности обучения.
