Математик и физик Александр Ляпунов (1857–1918), работавший примерно в то же время, что и Пуанкаре, использовал более количественный подход к теории устойчивости. Вместо того чтобы, подобно Пуанкаре, изучать геометрию траекторий, Ляпунов рассмотрел числа — так называемые экспоненты Ляпунова — которые служили индикаторами неустойчивости. Если какая-либо из этих экспонент была положительной, то траектории удалялись друг от друга (экспоненциально). В этом случае система была нестабильной.
В 1950-е годы основной темой семинаров Андрея Колмогорова (1903–1987) в Московском государственном университете была небесная механика: и он, и его ученик Владимир Игоревич Арнольд (1937–2010) занимались теоретическим изучением устойчивости динамических систем небесной механики, взяв за основу труды Пуанкаре и Ляпунова. Результатом этих исследований стала теорема, представленная Колмогоровым в 1954 году на Международном математическом конгрессе в Амстердаме.
Позднее юный немецкий математик Юрген Курт Мозер (1928–1999) захотел написать обзорную статью по этой теме для журнала Mathematical Reviews. Мозер настолько интересовался этой темой, что совершил поездку в Советский Союз, там он познакомился с Арнольдом, и результатом их совместной работы стала широко известная (среди специалистов) теория Колмогорова — Арнольда — Мозера. Эта теория описывает, что происходит, когда в интегрируемой (линейной) системе возникают неинтегрируемые (нелинейные) возмущения. Если эти возмущения достаточно малы, то большинство орбит будут подобны стабильным и квазипериодическим, то есть никогда не будут слишком далеко отклоняться от периодических орбит системы. В этой же ситуации будут наблюдаться и другие орбиты, предсказать поведение которых нельзя. Таким образом, в океане хаоса будут формироваться островки стабильности.
Если рассматривать Солнечную систему, то, поскольку масса планет по сравнению с массой Солнца пренебрежимо мала, в первом приближении можно пренебречь силами, действующими между планетами, и получить интегрируемую систему, в которой каждая планета будет двигаться по прекрасному кеплеровому эллипсу, что доказал Ньютон. Но если мы начнем учитывать взаимодействие между планетами, система уже не будет интегрируемой, о чем нам известно благодаря трудам Пуанкаре.
Планеты перестанут описывать идеальные эллипсы, и вполне возможно, что одна из них даже начнет движение по хаотической орбите и в конце концов покинет пределы Солнечной системы. С 1954 года благодаря теории Колмогорова — Арнольда — Мозера мы знаем, что незначительные отклонения нарушают равномерность лишь частично. И если предположить, что силы взаимодействия планет не слишком велики, то большинство их орбит будут близки по форме к эллипсам. Это не означает, что абсолютно все движения в пределах Солнечной системы должны быть равномерными — достаточно, чтобы равномерными были большинство движений.
Некоторые малые тела Солнечной системы могут двигаться по хаотическим орбитам. В конечном итоге они либо столкнутся с другими телами, либо покинут пределы Солнечной системы. Возможно, именно такой была судьба Хирона — астероида из группы Кентавров (наполовину астероида, наполовину кометы), движущегося по хаотической и неустойчивой орбите между Сатурном и Ураном.
Теория Колмогорова — Арнольда — Мозера описывает островки регулярности в море хаоса.
Еще одной иллюстрацией теории Колмогорова — Арнольда — Мозера стало численное исследование, проведенное французским астрономом Мишелем Эно (род. 1931) совместно с аспирантом Карлом Хайлсом (род. 1939) в 1962 году при помощи нового инструмента — компьютера. Эно и Хайле хотели изучить движение звезд в галактиках в зависимости от их энергии. При низких энергиях решения уравнений были, как и ожидалось, периодическими или квазипериодическими. При высоких энергиях компьютер показывал, что периодические траектории постепенно размываются, и возникает целое море хаоса, в котором лишь иногда наблюдаются островки стабильности. Это была хаотическая система Эно — Хайлса.
Однако влияние советской школы этим не ограничивалось: во время холодной войны основные результаты, полученные советскими математиками, были переведены на английский. Европейские и американские математики смогли ознакомиться с ними благодаря трудам Соломона Лефшеца (1884–1972), которые пришлись как нельзя кстати. Этот инженер-химик родился в Москве, учился в Париже, переехал в США, где в результате несчастного случая (во время эксперимента произошел взрыв) потерял обе руки, после чего он начал заниматься математикой. Математика помогла Лефшецу справиться с сильной депрессией, и позднее он даже получил должность преподавателя в Принстоне. Чтобы писать на доске, ученый использовал пластиковые протезы и перед лекциями просил учеников прикрепить кусочек мела к его правой руке. Его сотрудничество с советскими математиками по окончании Второй мировой войны сыграло важнейшую роль в развитии теории динамических систем, а вместе с ней — ив развитии зарождавшейся теории хаоса.
Лоренц: кофе, компьютер, бабочка
Вернемся в Соединенные Штаты. Там в 1963 году юный метеоролог из MIT по имени Эдвард Нортон Лоренц (1917–2008), который учился у Биркхофа в Гарварде, сформулировал модель из трех обыкновенных дифференциальных уравнений для описания движения потока жидкости под действием градиента температур. Эта модель представляла собой упрощенное описание конвекции в атмосфере, то есть движение потоков горячего и холодного воздуха в условиях заметной разницы температур: горячий воздух поднимается вверх и, достигнув верхних слоев атмосферы, охлаждается, после чего вновь опускается к поверхности Земли. При некоторых значениях постоянных дифференциальные уравнения модели описывали начало нестационарной конвекции.
Однажды во время поиска численных решений с помощью компьютера Royal МсВее LGP-30, первого персонального компьютера в мире, Лоренц отлучился выпить чашку кофе и, вернувшись, обнаружил, что система демонстрирует крайне нестабильное, хаотическое поведение. Компьютер распечатал список очень странных значений, в которых не прослеживалось какой-либо закономерности. Лоренц счел, что произошла какая-то ошибка, и повторил расчеты. Но всякий раз он получал те же необычные результаты. Списки чисел начинались с почти одинаковых значений, которые затем становились принципиально различными. Лоренц по счастливой случайности столкнулся с феноменом чувствительности к начальным условиям.
Он заметил, что система была крайне неустойчивой даже при малейших изменениях. Незначительное изменение начальных условий приводило к тому, что конечные состояния системы оказывались принципиально разными. Предоставим слово самому Лоренцу:
«Два неотличимо различающихся состояния могут породить два существенно различных состояния. Если допущена какая-либо ошибка при наблюдении текущего состояния системы (а для реальных систем это, по всей видимости, неизбежно), то дать надежный прогноз состояния системы в далеком будущем будет невозможно».
Позаимствованный Лоренцем образ в итоге занял важное место в науке: взмах крыльев бабочки в Бразилии мог вызвать торнадо в Техасе. Это явление получило название эффект бабочки. И действительно, представим, что маленькая бабочка сидит на ветке дерева в далекой Амазонии и время от времени раскрывает и закрывает крылья. Допустим, что она взмахнула крыльями ровно два раза. Так как атмосфера — это хаотическая система, чувствительная к начальным условиям, малейшее отклонение потоков воздуха рядом с бабочкой может в конечном итоге вызвать ураган над Техасом спустя несколько месяцев.
Этот феномен стал широко известен в 1972 году, когда на заседании Американской ассоциации содействия развитию науки Лоренц выступил с докладом на тему «Может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?», хотя еще в 1963 году один метеоролог так прокомментировал результаты исследования Лоренца: «Если эта теория верна, то взмах крыльев чайки может навсегда изменить погоду».
Популярная метафора о взмахе крыльев бабочки стала известной благодаря Лоренцу, а выражение «чувствительность к начальным условиям» ввел американский математик Гукенхеймер уже в 1970-е. В любом случае результат один: в силу хаотической динамики изначально совпадающие траектории постепенно отделяются друг от друга и расходятся.
Подобно спискам чисел, графики, приведенные Лоренцем в статье, изображали ряд колебаний, которые возрастали и в конечном итоге становились хаотическими.
