Подобно спискам чисел, графики, приведенные Лоренцем в статье, изображали ряд колебаний, которые возрастали и в конечном итоге становились хаотическими.
Изначально траектория системы была периодической, но затем начинала испытывать сильные колебания, не подчиняющиеся какой-либо закономерности. Траектории вращались, по всей видимости, случайно, вокруг фигуры, напоминавшей восьмерку или крылья бабочки. Иногда траектории вращались несколько раз подряд вокруг одной половины этой фигуры, затем вокруг второй ее половины другое число раз. С течением времени близлежащие траектории отдалялись друг от друга по мере того, как они растягивались и складывались вблизи этой странной фигуры. При растяжениях близлежащие траектории разделялись, ошибки прогноза увеличивались. Затем, когда траектории складывались, они сплетались между собой. Этой странной фигурой, вблизи которой находились траектории, был аттрактор Лоренца.
В отличие от предсказуемых классических аттракторов (точек или предельных циклов), странные, или хаотические аттракторы, в частности аттрактор Лоренца, описывают непредсказуемые движения и имеют более сложную форму.
Лоренц опубликовал результаты своего открытия в метеорологическом журнале. Статья называлась «Детерминированный непериодический поток» и осталась практически незамеченной. Хотя Лоренц был метеорологом, он хотел быть математиком, однако эти планы нарушила Вторая мировая война. Математическое открытие Лоренца оказалось неактуальным, и статья пролежала на библиотечных полках почти 10 лет.
Только профессор Джеймс Иорк (род. 1941) из Мэрилендского университета смог распознать научные и философские последствия работы Лоренца: в упомянутой нами статье от 1963 года слились воедино (доказательством чему служит список источников, приведенный Лоренцем) топологические исследования нелинейных систем Пуанкаре, теория динамических систем Биркхофа и (внимание!) традиции советской математической школы, изложенные в книге «Качественная теория дифференциальных уравнений» Немыцкого и Степанова, изданной в Москве в 1949 году и переведенной на английский язык в 1960-м.
Эффект бабочки (чувствительность к начальным условиям) и так называемый эффект карточной колоды, заключающийся в растяжении и складывании траекторий, были сокрыты в гомоклинических сетях Пуанкаре. Оба этих признака хаоса проявились в виде аттрактора Лоренца и подковы Смэйла. Строго говоря, изучение гомоклинических сетей уже натолкнуло Смэйла на мысли о соленоиде и подкове, растяжение и складывание траекторий в которых являются характерными признаками хаоса. Так теория хаоса возродилась.
Новые создатели теории хаоса
Если Эдвард Лоренц предложил научному сообществу парадигму непрерывных хаотических динамических систем (систему Лоренца), то Роберт Мэй (род. 1936), занимавшийся популяционной биологией, в своей статье «Простые математические модели, обладающие сложной динамикой», опубликованной в журнале Nature в 1976 году, описал парадигму дискретных хаотических динамических систем (в них время течет не непрерывно, а скачками). Речь шла о логистическом отображении очень простой функции: f(х) = kx (1 — х). При значениях, близких к 4, эта функция, как это ни парадоксально, демонстрирует удивительно сложную динамику.
В следующей главе на примере этого отображения мы объясним основные понятия, связанные с хаосом.
Термин «хаос» был официально принят за год до публикации Мэя. В 1975 году профессор Иорк впервые использовал этот термин в современной научной литературе, в частности в своей статье «Период, равный трем, означает хаос», написанной в соавторстве с Ли Тянь-Янем. Несколько лет спустя, в 1978–1979 годах, физик Митчелл Фейгенбаум (род. 1944) эвристически (то есть с помощью нестрогих методов, приблизительных подсчетов) обнаружил определенные универсальные постоянные, характеризовавшие переход от периодического движения к хаотическому.
Не следует забывать, что в конце 1970-х — начале 1980-х годов исследования возможностей практического применения теории хаоса начали давать свои плоды не только в компьютерном моделировании. Классическим примером, демонстрирующим важность хаоса при изучении физических явлений, является переход к турбулентности в потоке. Турбулентность — очень важное явление, так как оно рассматривается во многих науках, начиная от гидродинамики и заканчивая метеорологией и климатологией. В классической математике турбулентность начинается с накопления колебаний. В стандартной интерпретации по мере того, как движение воды в реке становится все быстрее, сумма колебаний, по отдельности простых, порождает нестабильность, турбулентность. Проблема заключалась в том, что большинство колебаний при наложении совпадают, и в результате возникает периодическое движение, но не турбулентность. Наконец, в 1971 году математики Давид Рюэль (род. 1935) и Флорис Такенс (1940–2010) решили использовать иной теоретический подход и рассмотрели турбулентность с точки зрения топологии. Тогда и возникла блестящая идея: сочетание колебаний может породить новый объект — странный аттрактор, получивший такое название за форму: он представлял собой множество, отличное от известных на тот момент аттракторов (фокусов и предельных циклов).
Еще одна область применения теории хаоса, важность которой неуклонно повышается, связана с биологией при изучении неравномерности пульса и распространения заболеваний. Еще более многообещающими кажутся исследования в медицине и нейробиологии, в частности в электроэнцефалографии, где выявление хаотических и нехаотических участков (любопытно, что именно нехаотические участки являются аномальными) на энцефалограмме сегодня считается единственным способом раннего диагностирования заболеваний мозга.
* * *
ОПЕРЕЖАЯ ВРЕМЯ
Весьма вероятно, что первой динамической системой, с которой столкнется человек, только начавший изучение теории хаоса, будет логистическое отображение: f(x) = 4х( 1 — х). Несмотря на кажущуюся простоту, это отображение обладает очень сложной динамикой, которая включает хаотическое поведение. Логистическая функция является решением логистического уравнения, которое впервые описал бельгийский ученый Пьер Франсуа Ферхюльст (1804–1849). Когда в исследовании роста населения, опубликованном в 1838 году, Ферхюльст ввел логистическое уравнение для моделирования „ _ роста населения и последующей стабилизации его численности, подтверждаемого демографической статистикой, он не мог и представить, что более чем через 100 лет его модель привлечет огромное внимание исследователей и станет классическим примером теории хаоса.
Пьер Франсуа Ферхюльст.
* * *
СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ И ФРАКТАЛЫ
Большинство странных аттракторов в хаотических системах представляют собой фрактальные множества. Именно фрактальная геометрия, созданная Бенуа Мандельбротом (1924–2010) в 1977 году на основе передовых трудов Пьера Фату и Гастона Жюлиа, опубликованных в 1918 году, считается геометрией природы. Форму фракталов имеет множество природных объектов (морские побережья, листья растений, раковины моллюсков, легкие и другие органы человека, галактики, созвездия и даже кольца Сатурна, сегменты которых напоминают фрактальные множества Кантора), так как самоподобие — основное свойство сложных систем.
* * *
Слишком громкая революция
Несмотря на вышесказанное, объективная и не лишенная скепсиса характеристика, приведенная Давидом Рюэлем в книге «Случайность и хаос», полностью корректна:
«Математическая теория дифференцируемых динамических систем выиграла от притока «хаотических» идей и в целом не пострадала от современной тенденции (техническая сложность математики препятствует мошенничеству). Однако физика хаоса, несмотря на частые триумфальные объявления о «новых» прорывах, в настоящее время практически не дает интересных открытий.
Мы не будем излагать искаженное видение хаоса, характерное для некоторых постмодернистов и других мыслителей. Критики утверждают, что высокая популярность теории хаоса и фрактальной геометрии не соответствует их реальной научной ценности. Теория хаоса применяется даже при анализе художественных произведений и в управлении предприятиями.
Нельзя отрицать, что хаос открыл новый путь в науке. Эту новую науку, объединяющую множество дисциплин, математики называют теорией хаоса, или теорией динамических систем, физики — нелинейной динамикой, все остальные — нелинейной наукой. Это наука об эффекте бабочки, о чувствительности к начальным условиям, о случайных, беспорядочных и неправильных траекториях, о непериодическом и нестабильном поведении, о гомоклинических орбитах, о растяжении и складывании траекторий, о странных аттракторах и многом, многом другом. Войдем же в дверь, которую открыла перед нами теория хаоса.
