Виды нелинейных динамических систем (стационарные, периодические и хаотические), соответствующие им представления временных рядов значений (слева) и графики траекторий на фазовой диаграмме (справа).
Эффект бабочки и эффект карточной колоды
Настало время ответить на вопрос, вынесенный в название главы: что же такое детерминированный хаос? Сначала посмотрим, что мы узнали о работах Пуанкаре, Смэйла и Лоренца из предыдущих глав. Мы увидели, что геометрическая сущность хаоса заключается в растяжении и последующем складывании траекторий.
В результате последовательных растяжений и складываний траектории на фазовом пространстве становятся подобны тарелке спагетти, в которой каждая траектория переплетена с остальными. Следовательно, малейшая неточность при измерении начальных условий может привести к тому, что мы проследуем вдоль неверной траектории-спагетти, которая переплетена с той, что нас интересует, но ведет к совершенно другой части блюда. В результате наш прогноз в долгосрочном периоде будет ошибочным. Эффект бабочки в действии.
История появления теории хаоса показывает нам две структурные характеристики, связанные с хаосом и объясняющие его непредсказуемость. Во-первых, хаотические системы крайне чувствительны к начальным условиям (это показали Пуанкаре и Лоренц), во-вторых, траектории в хаотических системах, растягиваясь и складываясь пополам, переплетаются между собой (Пуанкаре, Смэйл). Мы продемонстрировали обе эти характеристики на примере задачи трех тел Пуанкаре, бильярда Адамара, подковы Смэйла, системы Лоренца и других.
Математическое определение хаоса, с одной стороны, отражает чувствительность к начальным условиям, или эффект бабочки, а с другой стороны — запутанную топологическую структуру, или эффект карточной колоды (он заключается в том, что траектории переплетаются между собой так, будто воображаемый пекарь месит воображаемое тесто).
ХАОС = ЭФФЕКТ БАБОЧКИ + ЭФФЕКТ КАРТОЧНОЙ КОЛОДЫ
Хаос представляет собой совокупность эффекта бабочки и эффекта карточной колоды. Недостаточно, чтобы близлежащие траектории со временем быстро отдалялись друг от друга — они также должны растягиваться, складываться и при этом переплетаться.
Существует множество классических примеров хаотических систем, большинство из которых мы уже упоминали. Если говорить о непрерывных динамических системах, то наиболее ярким примером системы, не сохраняющей энергию (диссипативной системы), будет система Лоренца — упрощенная модель земной атмосферы.
Система Эно — Хайлса, связанная с задачей трех тел, — это классическая модель хаотической системы без диссипации (такие системы называются гамильтоновыми).
Если говорить о дискретных динамических системах, то вам уже знакомы логистическое отображение Мэя (о нем мы подробнее поговорим далее) и двухмерное отображение Эно — две системы, по форме схожие с подковой Смэйла и, что более важно, обладающие символической динамикой. Примером символической динамики является сдвиг Бернулли — возможно, простейшая разновидность дискретной динамической хаотической системы.
Сдвиг Бернулли определяется следующим образом: для данного числа х на интервале от 0 до 1, записанного в виде десятичной дроби, нужно сдвинуть запятую на одно положение вправо и отбросить первую цифру (то есть целую часть полученного числа). Пример:
В (0,324571) = 0,24571.
Мы сдвинули запятую на одну позицию вправо и стерли цифру 3. Аналогично,
В(0,24571) = 0,4571
В(0,4571) = 0,571
В(0,571) = 0,71
В(0,71) = 0,1
В(0,1) = 0
В(0) = 0
В(0) = 0
…
Следовательно, орбита или траектория начального значения х = 0,324571 будет записываться так: {0,324571; 0,24571; 0,4571; 0,571; 0,71; 0,1; 0; 0; 0}. Эта орбита стремится к фиксированной точке 0 (точечному аттрактору, или фокусу).
Как вы узнаете позже, сдвиг Бернулли обладает хаотическим поведением, поскольку в нем присутствуют и эффект бабочки, и эффект карточной колоды. Чувствительность к начальным условиям несложно подтвердить экспериментально: допустим, что мы хотим проследовать вдоль траектории точки х = 1/3 = 0,3 = 0,33333. Так как результатом измерения может быть лишь конечное число десятичных знаков, рассмотрим у = 0,3333. Ошибка будет составлять менее одной тысячной. Изначально орбиты х и у будут располагаться поблизости, однако затем отдалятся друг от друга:
В (0,33333…) = 0,33333 — В (0,3333) = 0,333
В (0,33333…) = 0,33333 — В (0,333) = 0,33
В (0,33333…) = 0,33333 — В (0,33) = 0,3
В (0,33333…) = 0,33333 — В (0,3) = 0
В (0,33333…) = 0,33333 — В(0) = 0
В (0,33333…) = 0,33333 — В(0) = 0
… --…
Подобно остальным периодическим десятичным дробям, х = 0,3 определяет периодическую орбиту для сдвига Бернулли. В нашем случае точка х имеет период, равный 1, то есть это фиксированная точка, так как она повторяется бесконечное число раз. И напротив, у = 0,3333, подобно всем остальным непериодическим десятичным дробям, — это точка, составляющая часть впадины аттрактора, расположенного в точке 0, так как в долгосрочном периоде ее орбита притягивается к точке 0. Ошибка измерения, которая изначально составляла менее одной тысячной (х — у = 0,3 — 0,3333 = 0,00003), значительно возрастет и будет иметь порядок нескольких десятых (после четвертой итерации ошибка будет равна 0,3 — 0 = 0,3).
Два начальных условия, близкие друг к другу, порождают две траектории, которые по прошествии определенного времени никак не связаны между собой.
Где в нашем случае проявляется эффект карточной колоды? Рассмотрим бесконечные непериодические десятичные дроби, то есть иррациональные числа. Построим орбиты чисел (2)0,5 - 1 (= 0,41421356237…) и π — 3 (= 0,14159265358…):
B((2)0,5 - i) = 0,14213… — В (π — 3) = 0,41592…
В(0,14213..) = 0,42135… -- В (0,41592…) = 0,15926…
В (0,42135…) = 0,21356… -- В (0,15926…) = 0,59265…
В (0,21356…) = 0,13562… -- В (0,59265…) = 0,92653…
В(0,13562…) = 0,35623… -- В (0,92653…) = 0,26535…
В (0,35623.. .) = 0,56237… -- В (0,26535…) = 0,65358…
… --…
Что вы видите? Полученные десятичные дроби абсолютно случайны! Они напоминают номера лотерейного тиража. Это случайность, порождаемая хаосом. Орбиты чисел (2)0,5 -1, π — 3 или любого другого иррационального числа будут колебаться между 0 и 1. они будут приближаться к нулю столь же часто, как и к единице (или к 0,5). Знаки в десятичной записи иррациональных чисел не подчиняются какому-либо закону. Таким образом, если два рациональных числа — периодические десятичные дроби, значение которых точно известно, — порождают орбиты, которые рано или поздно будут периодическими (то есть начнут повторяться), то иррациональные числа (бесконечные непериодические десятичные дроби), напротив, порождают исключительно беспорядочные орбиты. Так как любое рациональное число бесконечно близко к некоторому иррациональному, периодические и непериодические орбиты неизбежно будут переплетаться между собой. В этом и заключается эффект карточной колоды.
Можно задаться вопросом: где в этом примере выполняются операции растяжения и складывания, которые порождают хаос? Чтобы обнаружить их, нужно посмотреть, какие математические действия мы совершаем при выполнении сдвига Бернулли. Мы уже говорили, что сдвиг Бернулли представляет собой сдвиг запятой в записи десятичной дроби на одну позицию вправо с последующим удалением первой цифры полученного числа. Когда мы сдвигаем запятую, в действительности мы умножаем число на 10, то есть «растягиваем» его, а когда мы стираем первую цифру, то уменьшаем, или «складываем, сгибаем» число. И вновь мы видим магический рецепт хаоса.
* * *
СДВИГ БЕРНУЛЛИ
Символическая динамика имеет и другие интересные свойства.
1) Она не поддается компьютерным вычислениям. Так как компьютеры работают с ограниченным числом десятичных знаков в записи дробей, для них все числа представляют собой точные десятичные дроби. Следовательно, если мы запрограммируем сдвиг Бернулли, то увидим на экране компьютера, что аттрактором всех орбит (подобно орбитам всех точных дробей) будет точка 0. Ни малейшего намека на хаос.
2) Существуют периодические орбиты с произвольным периодом. Так как периодические дроби могут иметь произвольный период (например, состоящий из шести цифр: то будут наблюдаться орбиты с произвольными длинами периодов: 1, 2,3,4, 5. Математики Ли Тянь-Янь и Джеймс Йорк на основе теоремы Шарковского сформулировали знаменитую теорему, согласно которой если для непрерывной функции существует орбита с периодом 3, то для нее существуют орбиты с любым периодом. Точная формулировка теоремы звучит так: существование 3-цикла подразумевает существование n-цикла (для n — 1,2,3,4, 5…). Ли и Йорк удачно подытожили смысл теоремы в названии свой статьи: «Период, равный трем, означает хаос».
