Проиллюстрируем механизм подобного порождения на приведенном выше (с. 64) примере доказательства равенства
Шаг (1) состоял в следующем. Было взято равенство (A1 → ~A2) = (~A1 V ~A2), верное по определению (п. V), и к нему применено правило вывода —замена равным [b] следующим образом: в ((A1 → ~A2) & (A3 → A1)) →
(A3 → ~A2) часть (A1 → ~A2) была заменена на формулу (~A1 V ~A2), в результате чего получилось верное равенство:
Здесь роль α, фигурирующей в формулировке правила замены равным, играло выражение (A1 → ~A2)» роль β — формула (~A1 V ~A2), роль Ф[а]—выражение ((А1 → A2) & (A3 → A1)) → ( A3 → ~A2). роль Ф[β] - выражение ((~A1 V ~A2) & (A3 → A1)) → (A3→ ~A2). На шагах (2) и (3) в последнем выражении была произведена аналогичная замена импликативных выражений равными им (в силу определения п. V) дизъюнктивными формулами. Читатель может самостоятельно проследить, как применялось правило замены (и правила, выражающие симметричность и транзитивность равенства) на всех шагах доказательства, приведенного на с. 64—65. Заметим, что на некоторых шагах правило замены использовалось несколько раз.
Вернемся, однако, к логической интерпретации. Как мы говорили, операциям ~, &, V соответствуют отрицание, конъюнкция и (слабая, неразделительная) дизъюнкция — соединительно-разделительный союз «или». Как мы увидим ниже, при интерпретации яа классах эти операции истолковываются как взятие дополнения к классу, пересечение и объединение двух произвольных классов. В исчислении, которое разработал сам Дж. Буль и которое истолковывалось им прежде всего как теория классов (ср. ниже третью интерпретацию), использовалась не операция объединения классов, а так называемая симметрическая разность (объединение двух классов с исключением их общей части), а в случае интерпретации на высказываниях — строгая дизъюнкция, то есть операция, соответствующая союзу «или» в разделительном смысле (в разговорном языке передаваемом оборотом «или..., или», «либо..., либо»); если обозначить операцию строгой дизъюнкции знаком Û то запись (а Û β) означает, что это строго-дизъюнктивное высказывание (форма высказывания) истинно тогда, и только тогда, когда один член дизъюнкции, безразлично какой, истинен, а другой ложен. Если в перечне схем аксиом [а] изложенного нами исчисления заменить знак V всюду, где он встречается, знаком Û, то некоторые равенства станут неверными (например, «проваливаются» оба закона Де Моргана).
Это означает, что у самого Буля булевой алгебры не было. Она появляется, конечно, не в виде абстрактной алгебраической системы, а в виде содержательных интерпретаций на классах и высказываниях — лишь у Ст. Джевонса (см. выше. гл. 2). Но от Буля ведет свое начало тип алгебраических систем, переменные которых могут пониматься как двоичные переменные и формулы которых принимают только одно из тех же самых двух значений (поэтому эти переменные и формулы сейчас нередко называют булевыми). К системам такого рода принадлежит и булева алгебра. В этом смысле Буль действительно стоит у ее истоков, что и оправдывает ее название[24].
Теоретико-множественная интерпретация (на классах)
Введем в рассмотрение некоторую область предметов — универсальный класс V (ср. гл. 2). Будем рассматривать всевозможные классы (множества), состоящие из предметов универсума V, то есть его подмножества. Введем также пустой класс Л. На подмножествах множества V, включая и сами V и Л, обычным образом определим операции взятия дополнения к произвольному классу Л, пересечения двух произвольных классов A и B и их объединения (см. примечание 15 на с. 47). Истолкуем пропозициональные переменные булевой алгебры как переменные, значениями которых являются классы; операции ~, &, V будем понимать соответственно как ', ∩, ∪ и следовательно, формулы ~α, (α & β), (α V β) как формулы логики классов α', (α ∩ β) и (α ∪ β), а 1 и 0 — как V и Л. В соответствии с определением V это приведет к истолкованию выражений вида (α → β) и (α ≡ β) как совпадающих по смыслу с формулами вида (α' ∪ β) и ((α' ∪ β) ∩ (α ∪ β'))- Тогда формулы рассмотренного нами исчисления обратятся в формы классов[25], так как при всякой подстановке каких-то значений вместо всех переменных- данной формулы мы будем получать некий класс. Равенства α = β, где- α и β — формы классов, обращается в истинное высказывание, если при данной подстановке значений на места всех переменных, имеющихся в а и β, формы а и β переходят в точности в один и тот же класс[26]. Если это имеет место при любой подстановке такого рода, равенство считается верным.
Нетрудно проверить, что все 17 схем аксиом [а] при данной интерпретации оказываются верными равенствами. Возьмем, например, равенство 13. При интерпретации оно приобретает вид (а')' = а, что очевидно верно, какой бы класс ни взять в качестве а: дополнение к дополнению к данному классу совпадает с данным классом (это ясно видно из рис. 2, где класс A представлен кругом, универсальный класс — квадратом, в который помещен круг. а дополнение к классу A заштриховано). Ясно также, что пересечение любого класса A с универсальным классом есть класс Л (схема аксиом 14), и тот же результат дает его объединение с пустым классом (схема аксиом 15) и т. д.[27].
Формулы, которые при логической интерпретации оказываются тождественно-истинными формами высказываний, при данной интерпретации задают универсальный класс (аналогичное соответствие имеется между тождественно-ложными формами и классовыми формами, задающими пустой класс).
Данная интерпретация является теоретико-множественной в том смысле, что в ней используются операции над классами (множествами), однако ее можно считать и логической интерпретацией (правда, иного рода, чем интерпретация на высказываниях), поскольку множества можно считать объемами понятий (как мы увидим в дальнейшем, логика и теория множеств — при классической установке в математике и логике, о которой речь впереди, находятся между собой в органической связи).
Техническая интерпретация (на контактных схемах)
Одним из видов электрических схем, рассматриваемых в теории электрических цепей и автоматических устройств, являются схемы, состоящие из соединенных проводниками контактов выключателей. Контакты могут быть двух родов —замыкающими и размыкающими. Замыкающий контакт в нерабочем состоянии размыкает электрическую цепь, а в рабочем состоянии — замыкает; размыкающий контакт нерабочем состоянии замыкает цепь, а в рабочем — размыкает (рис. 3). Таким образом, с электрической точки зрения каждый контакт может быть в двух состояниях — проводимости (п) и непроводимости (н).
Срабатывание контакта (то есть переход в рабочее состояние) зависит от внешнего воздействия на выключатель (реле), который им управляет. Один и тот же выключатель может управлять многими контактами — замыкающими и размыкающими. Очевидно, что прохождение тока по схеме, состоящей из контактов, соединенных проводами, зависит от их состояния, которое, в свою очередь, определяется воздействиями на управляющие ими выключатели.
Рис. 3.
Схематическое изображение замыкающего (а) и размыкающего (б) контактов.
Будем истолковывать пропозициональные переменные как замыкающие контакты, управляемые соответствующими выключателями. Примем, что каждому вхождению данной переменной в формулу соответствует какой-то замыкающий контакт, управляемый выключателем, сопоставляемым с данной переменной. Например, в формуле (**) (А1 & ~(А2 V А1)) имеется два вхождения переменной A1, которые означают различные замыкающие контакты, управляемые, однако, одним и тем же выключателем. В качестве значений пропозициональной переменной примем два возможных состояния соответствующего ей замыкающего контакта. Под отрицанием переменной будем понимать размыкающий контакт, управляемый тем же выключателем, который «заведует» отрицаемой переменной. Очевидно, что если A и ~А — замыкающий и размыкающий контакты, управляемые (то есть одновременно переводимые в рабочее состояние) одним и тем же выключателем, то имеет место следующее: если один из них находится в состоянии проводимости, то другой — в состоянии непроводимости, и наоборот.
Истолкуем конъюнкцию как последовательное, а дизъюнкцию — как параллельное соединение контактов (и более общо, комплексов контактов, соединенных проводниками схем) (рис. 4). Это вполне естественно, так как при последовательном соединении контактов ток по цепи проходит лишь тогда, когда оба контакта находятся в состоянии проводимости, а при параллельном соединении для прохождения тока по цепи достаточно проводимости хотя бы одного из контактов.
