Сразу же после своего появления анализ показал себя как исключительно мощный по своим возможностям инструмент. Это могущество метода так увлекло математиков, что они стали интенсивно расширять круг задач, решаемых анализом, и совершенствовать его формулы, способные, казалось, описывать и обсчитывать все на свете. Расширение сферы приложений анализа и увеличение его популярности заставляло наиболее вдумчивых математиков ставить задачу его обоснования, не зависящего от приложений геометрического или механического характера[2]. Внутренняя логика развития этой дисциплины ставила вопрос о строгости ее методов — проблему, над которой в первой четверти XIX века работали Б. Больцано и О. Коши и которая занимала умы таких великих математиков, как К. Ф. Гаусс и Н. Г. Абель.
Специалисты того времени по-разному относились к работам по логическому усовершенствованию теоретической части анализа. Конечно, математики не сомневались, что методы анализа дают адекватные результаты, но некоторых из них особенно сильно беспокоило желание установить «согласованность» всей системы его утверждений, то есть его «логическую прочностью. Они считали, что непогрешимость анализа должна быть не такой вещью, в которую приходится верить и которая подтверждается лишь косвенно — безупречной работой аппарата, а такой, которую можно доказать рассуждением. Ответом на эту потребность явился ряд теорий действительного числа — Р. Дедикинда, К. Вейерштрасса и Г. Кантора.
Действительные числа — основной объект анализа, поэтому последний нельзя считать логически совершенным, пока не установлена полная ясность в отношении понятия действительного числа. Понятие натурального числа представлялось тогда вполне ясным. Из натуральных чисел легко получаются рациональные числа — дроби. Но иррациональные числа — главную составляющую действительных чисел — определить уже значительно труднее. К. Вейерштрасс (1815—1897) разработал теорию действительных чисел, из которой вытекало, что их можно определить как бесконечные десятичные дроби. Если такая дробь является периодической (например, 0,333...), она отождествляется с рациональным числом (в нашем примере это 1/3)[3], если не периодической — то с числом иррациональным; таковы, скажем, известные числа π и е, отождествляемые соответственно с бесконечными непериодическими десятичными дробями 3,1415926546... и 2,7182818289...
В обоих случаях мы выписали по десять знаков после запятой, поставив затем многоточие; последнее ясно показывает, какую роль в данной теории играет бесконечность: она заложена в самих объектах, возникающих в теории. Вейерштрассовское действительное число — если оно иррационально — нельзя написать на бумаге: не хватит ни бумаги, ни человеческой жизни[4].
Многие математики (Л. Кронекер и др.) видели в этом серьезный дефект теории Вейерштрасса, но, она все же прочно вошла в учебники анализа, ибо, как отметил Е. Т. Белл, «она работала»[5].
Более интересной для нас является теория действительных чисел Дедекинда[6]. Он придал иррациональным числам совершенно новый смысл, определив их как сечение в области рациональных чисел. Подход Дедекинда состоял в следующем.
Ясно, что любое множество можно разбить на два под множества таким образом, что объединение подмножеств будет совпадать со всем множеством и каждый элемент последнего попадет в одно и только одно из подмножеств. Такое разбиение со времен античности называют дихотомией (буквально: «сечение на две части»). Произведем дихотомию множества всех рациональных чисел так, что в результате получатся два непустых подмножества, находящихся в следующем отношении: каждое число какого-то одного из них меньше любого числа другого. Систему из таких двух подмножеств множества всех рациональных чисел Дедекинд назвал сечением в области рациональных чисел; первое из них образует левый класс, второе — правый класс сечения.
Приведем пример сечения. Левый класс — все отрицательные рациональные числа, правый класс — нуль и все положительные рациональные числа. Очевидно, что мы имеем здесь сечение в дедекиндовом смысле, так как каждое рациональное число войдет либо в первый, либо во второй класс (но не в оба сразу), ни один из классов не пуст, любое отрицательное число меньше нуля и каждого из положительных чисел.
Оказывается, над сечениями можно производить операции. Возьмем два каких-нибудь сечения, например следующие. В первом — его мы обозначим через С1 - левый класс (назовем его А1) образуют все рациональные числа, меньшие единицы, правый (В1) —не меньшие единицы. Во втором сечении (С2) левый класс (А2) образован всеми рациональными числами, меньшими двойки, а правый (В2) остальными рациональными числами. После этого зададим следующее разбиение множества всех рациональных чисел на два подмножества: к первому отнесем все числа, которые могут быть представлены суммой двух слагаемых — числа из множества А1 и числа из множества А2 ко второму — все числа, которые представимы в виде суммы числа из множества В1 и числа из множества В2. Будет ли это разбиение сечением?
Нетрудно видеть, что будет. Оба рассматриваемых подмножества не пусты; поскольку первое слагаемое одной суммы меньше первого слагаемого другой суммы и то же относится ко вторым слагаемым, то и первая сумма меньше второй суммы. Можно показать, что выполнено и требование того, чтобы каждое рациональное число обязательно попадало в какое-то одно, и только одно, из двух подмножеств. Итак, разбиение, построенное указанным способом по двум заданным сечениям, есть тоже сечение. Его называют суммой двух исходных сечений и обозначают С1 + С2. Очевидно, что подобным образом возможно построить сумму любых двух сечений. Аналогично можно получить произведение двух сечений С1 и С2: левый его класс составят произведения сомножителей, взятых из левых классов исходных сечений, а правый — взятых из правых классов (правда, здесь нужно сделать некоторые оговорки, связанные с тем, что произведение отрицательных чисел есть число положительное, но они достаточно просты и для нашего изложения несущественны). В приведенном выше примере сумма сечений оказывается сечением, левый класс которого состоит из рациональных чисел, меньших тройки, а произведение — сечением с левым классом, состоящим из чисел, меньших двойки. Но число 3 есть результат сложения, а число 2—результат умножения чисел 1 и 2. Вообще всегда, когда в каждом из исходных сечений есть либо наибольшее число левого класса, либо наименьшее число правого (пограничное число), сумма сечений также будет иметь пограничное число — сумму пограничных чисел исходных сечений; то же справедливо и в отношении произведения (его пограничное число будет произведением пограничных чисел исходных сечений). Иными словами, сложить или перемножить сечения в этом случае — значит сложить или перемножить их пограничные числа и взять Результата качестве пограничного числа.
Но можно задать такое сечение, у которого пограничного числа не окажется. Вот пример фактического построения такого сечения. Левый его класс составляют положительные рациональные числа, квадрат которых меньше двух, число нуль и все отрицательные рациональные числа, а правый — все положительные рациональные числа, квадрат которых больше двух. Такое разбиение является сечением: классы не пусты, каждое число левого класса меньше каждого числа правого класса, всякое рациональное число принадлежит либо левому, либо правому классу.
Последнее условие оказывается выполненным потому, что нет такой дроби (рационального числа) p/q,. где p и q — целые и q отлично от нуля, квадрат которой был бы равен двум (доказательство этого факта, восходящее еще к Пифагору, весьма просто; оно приводится во многих учебниках анализа).
Покажем, что у полученного сечения не существует пограничного числа, то есть, что ни в левом классе нет наибольшего числа, ни в правом классе нет наименьшего.
Проведем доказательство лишь первого утверждения, поскольку второе доказывается аналогично. Отсутствие наибольшего числа в левом классе означает, что какое бы положительное рациональное число а, квадрат которого меньше двух, мы ни взяли, существует такое целое число n > 0, что (а + 1/n)2 < 2. Это значит, что рациональное число a + 1/n также будет принадлежать левому классу и, следовательно, A не может считаться наибольшим.
Будем исходить из очевидно верного утверждения, что для любого положительного рационального числа а, квадрат которого меньше двух, существует такое целое положительное число n, что выполняется неравенство
(2a+1)/(2-a2) < n
