Истолкуем конъюнкцию как последовательное, а дизъюнкцию — как параллельное соединение контактов (и более общо, комплексов контактов, соединенных проводниками схем) (рис. 4). Это вполне естественно, так как при последовательном соединении контактов ток по цепи проходит лишь тогда, когда оба контакта находятся в состоянии проводимости, а при параллельном соединении для прохождения тока по цепи достаточно проводимости хотя бы одного из контактов.
Рис. 4.
Схемы последовательного и параллельного соединения двух контактов; схема a соответствует формуле (Ai & ~Aj), а схема б — формуле (Ai V ~Aj); i,j = 1, 2, 3,...
Импликацию и эквивалентно будем понимать подобно предыдущей интерпретации — как сокращение смысл которого расшифровывается с помощью знаков ~, & и V. Наша интерпретация не определяет, как понимать формулы (и как вычислять их значения в зависимости от значений, придаваемых их переменным), если в них имеется знак отрицания, действующий не на пропозициональную переменную, а на более сложную (под)формулу. Например, не ясно, как интерпретировать приведенную выше формулу (**). Поэтому условимся о следующем: всякая непосредственно не истолковываемая формула понимается как любая равная ей формула, в которой отрицания (если они есть) стоят только над переменными; значения непосредственно не истолковываемой формулы для любого распределения значений пропозициональных переменных совпадают со значением равной ей непосредственно истолковываемой формулы для тех же распределений значений. Так, формулу (**) можно понимать как формулу (А1 & (~A2 & ~A1), так как она равна формуле (**).
Теперь мы можем указать, что следует понимать под значением формулы — это либо проводимость, либо непроводимость соответствующей схемы, и определять ее значение для любого распределения значений входящих в нее - пропозициональных переменных, пользуясь таблицами, в которых вместо единиц стоят проводимости (п), а вместо нулей — непроводимости (н). При этом формулам, тождественно-равным единице, соответствуют всегда приводящие, а формулам, тождественно-равным нулю, — никогда не проводящие схемы. Очевидно, что верность равенства а = β в нашей интерпретации означает функциональную одинаковость схем, соответствующих формулам а и β — одинаковость их электрического состояния пои любых состояниях их контактов.
Рис. 5.
Схемное представление закона дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции. Как нетрудно убедиться, схемы а и б функционально одинаковы.
Всем семнадцати схемам аксиом в данной интерпретации соответствуют верные равенства, а правила вывода из верных равенств порождают верные равенства. Проверим» например, схему аксиом 5. Для этого по каждой из схем формул, составляющих левую и правую часть этого равенства, построим контактную схему (рис. 5). Составив таблицу проводимости обеих схем (см. табл. 11), убедимся в их функциональной одинаковости.
В силу данной интерпретации к исследованию контактных схем приложимым оказывается весь аппарат теории булевой алгебры. Становится возможным записывать схемы в виде аналитических выражений (формул), и по схемам определять соответствующие им формулы, упрощать схемы и т. п. Упрощение контактных схем, особенно решение задач их минимизации, то есть нахождения по данной схеме самой простой (содержащей наименьшее число контактов) функционально одинаковой с ней схемы» является весьма важным для автоматики.
Проиллюстрируем упрощение схемы с помощью изложенного нами аппарата. Дана схема, изображенная на Рис. 6, а.
По ней строится формула (А1 V (~A1&A2)) Упрощение этой формулы дает: (A1 V (~A1 & A2)) = (A1 V ~A1) & (A1 V А2)=(А1 V A2). Формуле (A1 V ~A2) соответствует более простая схема (рис. 6, б). Читателю предоставляется проверить функциональную одинаковость схем а и б, проследив их электрическое состояние при всех возможных состояниях их контактов[28].
После того как мы ознакомились с четырьмя интерпретациями одной и той же абстрактной системы — теории булевой алгебры (в узком смысле), возникает вопрос, как относятся друг к другу эти интерпретации. Ответ на него состоит в том, что они подобны друг другу, имеют одинаковую структуру. В самом деле: каждой булевой (булевской) формуле, тождественно-равной единице, взаимно однозначно соответствует некоторая тождественно-истинная форма логики высказываний — в логической интерпретации; каждой тождественно-истинной форме — классовая форма, задающая универсальное множество, а этой последней — всегда проводящая схема.
Аналогичное соответствие имеется и между формулами, тождественно-равными нулю, тождественно-ложными формами высказываний, классовыми формами, задающими пустое множество, и никогда не проводящими схемами. Перечень подобных соответствий может быть продолжен, однако и сказанного достаточно, чтобы сделать важный вывод: проводя исследования в одной из этих систем, мы его результаты можем перенести на любую другую. В частности, изучение электрических схем, состоящих из контактов, можно заменить изучением булевых функций.
В этой важнейшей идее подобия (уточняемой с помощью понятия изоморфизма и его обобщений) различных систем и в конечном счете основанной на этой идее процессе моделирования — базируются кибернетические исследования, направленные на автоматизацию логических процедур. Но какой длинный путь должна была проделать наука, чтобы прийти к ясному пониманию этого!
рис. 6. Пример функционально одинаковых схем различной сложности; схема б проще схемы а, так как содержит меньше контактов.
4. ВЕЛИКАЯ ПЕРЕОЦЕНКА ЦЕННОСТЕЙ
Теоретическую математику иногда представляют себе как концентрированное воплощение отвлеченной мысли, не замутненной никакой утилитарной стороной дела, которую она оставляет прикладной математике и техническим дисциплинам. Такой взгляд на математику обнаруживается в высказываниях многих выдающихся ученых. «Чистая математика в ее современном виде может быть названа самым оригинальным созданием человеческого духа», сказал Альфред Уайтхед. «Математик, который не есть отчасти и поэт, никогда не будет настоящим математиком» - сказал Карл Вейерштрасс. «Математика — это единственная настоящая философия» - сказал лорд Кельвин[1].
Как относиться к таким высказываниям? Математика, действительно, являясь ярчайшим подтверждением силы человеческого разума и неисчерпаемости человеческого воображения, в то же время может быть названа, если позволительно так выразиться, одним из самых деловых занятий: результаты математики говорят сами за себя, фирма с названием «математика» имеет мировую известность как фирма, дающая стопроцентную гарантию своей продукции. «Сделано математикой» — означает для всех «сделано на века». Поэтому математика не может позволить себе необоснованного риска заниматься выпуском изделий, которые могут вызвать сенсацию, а потом оказаться недоброкачественными. У нее есть собственная технология производства, оправданная двухтысячелетней практикой. Все это мы должны иметь в виду при рассмотрении вопроса о том, почему лейбницева идея автоматизации рассуждений с таким трудом пробивала себе дорогу: Лейбница отделяет от Буля полтора столетия, но ведь даже работы Буля и его школы были лишь деятельностью энтузиастов и не привлекали внимания современников.
Но мы знаем, что все упиралось в формализацию логики — необходимо было выработать символику и процедуры преобразований знаков, позволяющие эффективно проводить логический анализ. Лейбниц только собирался преодолеть этот барьер, но так и не осуществил своего намерения. Буль и его последователи расчистили многие препятствия, но они работали как одиночки, не увлекали за собой других математиков, не получили их поддержки. Даже труды Г. Фреге — этого титана логико-математической мысли, о вкладе которого в логику и основания математики мы скоро будем говорить появившиеся в конце прошлого века, не обратили на себя внимания.
А по своим потенциальным возможностям математика в середине XIX века уже в значительной мере созрела для того, чтобы приступить к уточнению программы Лейбница. Надо было только «навалиться всем миром», заострить на этой проблеме внимание, как когда-то оно было заострено на задаче о проведении касательной к данной линии, решая которую, Ньютон заложил основы дифференциального исчисления.
Но ничего подобного сделано не было. Ни одна академия не поставила проблему «искусственного мышления». Это выглядело бы в то время несерьезно. Даже «привязанные» отчасти к теории вероятностей и алгебраизованные по форме исследования Буля воспринимались как вещи, уводящие математику в сторону от основной дороги. Во второй половине XIX века центральными вопросами математики продолжали оставаться вопросы дифференциального и интегрального исчисления и дифференциальных уравнений, образующие область, которая известна как «математический анализ» или просто «анализ». Она возникла в результате открытий Ньютона и Лейбница и получила мощный импульс от их ближайших последователей, великих математиков XVIII и начала XIX в.—Эйлера, Лагранжа и Лапласа. Известно, что импульсы к созданию математического анализа были даны геометрическими и механическими задачами — такими, как вычисление площадей фигур (квадратур), длин кривых, моментов инерции, отыскание траекторий и т. п., решать которые прежними средствами было затруднительно или вообще невозможно.
