* * *
Геодезия, хронометрия и астрономия
мобильных GPS-навигаторах или мобильных телефонах. Система глобального позиционирования, больше известная по англоязычной аббревиатуре GPS (от англ. Global Positioning System), созданная в США, позволяет определять широту, долготу и высоту объекта (человека, автомобиля, корабля и так далее) с точностью до нескольких сантиметров. Это возможно благодаря сети из 24 основных и 3 резервных спутников, которые вращаются вокруг Земли на высоте 20 200 км. Их траектории синхронизированы, и они покрывают всю поверхность Земли. Система GPS вначале использовалась исключительно в военных целях, а также в морской и воздушной навигации, в 1980-е годы начала применяться в геодезии, а сегодня она доступна всем. В числе сфер применения этой системы отметим столь важные области, как обеспечение безопасности на железных дорогах, вождение автомобилей и управление воздушным движением.
Спутники GPS расположены в шести орбитальных плоскостях по четыре основных спутника в каждой плоскости. Такое расположение 24 спутников гарантирует, что практически из любой точки планеты всегда будут видны по крайней мере четыре из них. Помимо информации о позиционировании и навигации, GPS также позволяет определять время с точностью до 100 наносекунд. На каждом спутнике расположено несколько атомных часов, показания которых кодируются в сигнале GPS. GPS-приемник расшифровывает полученный сигнал и синхронизируется с атомными часами спутников.
Принцип определения местоположения по системе GPS заключается в измерении расстояний от спутников до приемника, которые, в свою очередь, рассчитываются посредством измерения времени. Приемник автоматически получает как минимум от трех спутников сигнал, содержащий информацию о положении спутника и точном времени на нем. Приемник синхронизирует часы GPS, определяет задержку распространения сигнала, а по ней — расстояние до каждого спутника. Современная триангуляция основывается уже не столько на измерении углов из точек с известными координатами, сколько на определении расстояний от каждого спутника до GPS-приемника, что позволяет определить положение приемника относительно спутников. Определив координаты спутников по передаваемому ими сигналу, можно найти абсолютные координаты приемника, то есть его широту и долготу. Для определения высоты потребуется сигнал от четвертого спутника.
Без искусственных спутников Земли не обойтись и в астрометрии — они позволяют с высокой точностью определять положение небесных тел и расстояния между ними. Спутники, подобные Hipparcos (акроним от High Precision Parallax Collecting Satellite — спутник для сбора высокоточных параллаксов), запущенному Европейским космическим агентством в 1989 году, позволяют измерять параллакс и собственное движение миллионов звезд. Параллакс можно определить как угол между двумя направлениями до одного и того же объекта (например, звезды) из точек А и В, достаточно удаленных друг от друга и не лежащих на одной линии с объектом.
В прошлом обнаружить параллаксы небесных тел было очень сложно, так как даже ближайшие звезды расположены на огромном расстоянии от Земли, поэтому направления до них практически параллельны. Определить параллакс звезды (это была звезда 61 созвездия Лебедя) впервые удалось лишь в 1838 году усилиями астронома и математика Фридриха Вильгельма Бесселя (1784–1846).
Объект О будет виден слева или справа от звезды Е на удаленном фоне, выбранной в качестве точки отсчета.
Ближайшая к Земле звезда Проксима Центавра имеет параллакс 0,763”. Это означает, что параллакс звезд всегда меньше одной угловой секунды. Чем больше расстояние до звезды, тем меньше ее параллакс, таким образом, ошибки измерения становятся все более значимыми. В подобных случаях измеряется спектр электромагнитного излучения рассматриваемого астрономического объекта — так можно определить расстояние до него и сдвиг линий его спектра. На основе этих данных вычисляется расстояние до объекта. Для работы со столь огромными расстояниями требуются особые единицы измерения, намного большие, чем метр.
Астрономическая единица (а.е.) — единица длины, равная среднему расстоянию от Земли до Солнца (149397 870 км), она используется для измерений в пределах Солнечной системы. Парсек (пк) определяется как расстояние, с которого одна астрономическая единица видна под углом в одну угловую секунду (1"). Световой год (расстояние, которое свет проходит за один год) определяется как расстояние, которое преодолевает фотон за один год по юлианскому календарю (365,25 суток по 86400 секунд) со скоростью света в вакууме (299792,458 км/с), при этом фотон проходит на бесконечно большом расстоянии от любого гравитационного или магнитного поля.
При измерениях в физическом мире используются рациональные числа, и результат измерений всегда является приближенным. В математических моделях, где измерения производятся при помощи вещественных чисел, формализация понятия «измерение» привела к появлению теории меры. В этом вопросе особую роль играют спрямление, квадратура и возведение в куб.
* * *
НЕКОТОРЫЕ АСТРОНОМИЧЕСКИЕ РАССТОЯНИЯ
Астрономическая единица, парсек и световой год — это единицы измерения, удобные для измерения расстояний в пределах Солнечной системы, Млечного Пути и в межзвездном пространстве соответственно. Они связаны следующими приближенными соотношениями: 1 парсек = 3,26 световых года = 206265 а.е. = 30875 миллиардов километров. Среднее расстояние от Земли до Солнца составляет около 150 миллионов километров и примерно равно одной астрономической единице (1 а.е.). Свет Солнца достигает Земли за 8,32 минуты, поэтому говорят, что Земля находится на расстоянии 8,32 световых минуты от Солнца.
Некоторые расстояния от Солнца.
Небесное тело · Примерное расстояние
Венера · Менее 0,68 а.е.
Земля · 1 а.е. = 8,32 световых минуты
Юпитер · Более 5,2 а.е.
Плутон · 39,5 а.е.
Центр Млечного Пути · 8500 пк = 30 000 световых лет = 1753 миллиона а.е.
Некоторые расстояния от Земли.
Небесное тело · Расстояние · Характеристика
Луна · 0,0026 а.е. · Единственный естественный спутник Земли
Проксима Центавра · 4,2 световых года = 270 000 а.е. · Ближайшая к Земле звезда
Звезда Сириус · 8,6 световых года = 540 000 а.е. · Первый восход Сириуса над горизонтом перед рассветом, наблюдавшийся после долгого периода невидимости, знаменовал начало года в Древнем Египте
Галактика Андромеды (М31) · 2,56 миллиона световых лет = 775 кпк · Наиболее удаленный от Земли объект, видимый невооруженным глазом
* * *
Измерения в математических моделях
Спрямление
Исторически под спрямлением понималось построение прямой, длина которой равна длине данной кривой. Графическая интерпретация этого понятия, на основе которой определяется метод приближенного вычисления длины, может выглядеть так: разделим кривую на последовательность прямолинейных участков как можно меньшего размера, после чего найдем сумму их длин.
Разделение кривой на прямолинейные отрезки.
Похожий метод использовал некий преподаватель средней школы, когда объяснял ученикам, как измерить длину морского побережья. Он объяснял: «Чтобы произвести измерения, необходима карта побережья в масштабе, достаточно длинная нить и линейка. Нужно смочить нитку водой и проложить ее вдоль всего побережья на карте. Теперь достаточно вытянуть нить и измерить ее длину с помощью линейки.
Масштаб карты укажет, как следует пересчитать размер и найти искомую длину». С древних времен одной из самых известных задач подобного рода была задача о спрямлении окружности. Древнеегипетские математики верно определили формулу расчета длины окружности, согласно которой отношение площади круга к длине его окружности равно отношению площади квадрата, в который вписана окружность, к его периметру. Это соотношение выполняется в точности и равно r/2, где r — радиус окружности, но значение π, которое использовали египтяне, было приближенным (3,16 или 3 и 1/6).
Спрямление, квадратура и возведение в куб также описываются в классическом древнекитайском трактате о математике «Цзю чжан суань шу», или «Математика в девяти книгах», написанном в I веке. В первой книге, озаглавленной «Измерение полей», приведены расчеты значения π методом исчерпывания: в окружность вписывается шестиугольник, после чего его периметр сравнивается с длиной окружности; так получается значение π = 3. Далее проводятся аналогичные действия с многоугольниками, имеющими 12, 24, 48 и 96 сторон, и рассчитывается значение π = 3,1410240.
